Номер 360, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

360. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны $a$. Найдите расстояние между прямой $AB$ и прямой:

а) $CD$;

б) $DE$;

в) $A_1B_1$;

г) $D_1E_1$;

д) $FC$;

е) $F_1C_1$.

В основе решения лежит геометрия правильной шестиугольной призмы, у которой все ребра равны $a$. Основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a$. Высота призмы также равна $a$.

Прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости основания $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике смежные через одну стороны (как $AB$ и $CD$) не параллельны, следовательно, прямые, их содержащие, пересекаются. По строгому определению, расстояние между пересекающимися прямыми равно нулю. Однако, в контексте подобных задач часто подразумевается нахождение другого характерного расстояния. Одним из таких расстояний может быть расстояние от конечной точки одного отрезка до прямой, содержащей другой отрезок.

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Продлим боковые стороны $AB$ и $DC$ до их пересечения в точке $P$. Внутренние углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$, поэтому $\angle ABC = \angle BCD = 120^\circ$. Внешние углы при вершинах $B$ и $C$ трапеции равны $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Таким образом, треугольник $PBC$ является равносторонним, так как два его угла ($\angle PBC$ и $\angle PCB$) равны $60^\circ$. Сторона этого треугольника равна $BC = a$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $CD$ (которая совпадает с прямой $PC$) равно высоте треугольника $PBC$, опущенной из вершины $B$. Длина этой высоты равна:

$d = PB \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Это расстояние, вероятно, является искомым в задаче.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Прямые $AB$ и $DE$ лежат в плоскости основания. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны, поэтому $AB \parallel DE$.

Расстояние между этими параллельными прямыми равно расстоянию между серединами отрезков $AB$ и $DE$. Этот отрезок проходит через центр шестиугольника $O$ и его длина равна удвоенной апофеме (расстоянию от центра до стороны).

Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ равна высоте равностороннего треугольника $OAB$, то есть $h = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Искомое расстояние равно $d = 2 \cdot h = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Ответ: $a\sqrt{3}$.

Прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания, а прямая $A_1B_1$ — в плоскости верхнего основания. Четырехугольник $ABB_1A_1$ является боковой гранью призмы (прямоугольником), поэтому прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны.

Расстояние между этими параллельными прямыми равно высоте призмы, так как боковые ребра перпендикулярны основаниям. По условию, все ребра равны $a$, значит, высота призмы $AA_1 = a$.

Ответ: $a$.

Прямая $AB$ лежит в нижнем основании, а прямая $D_1E_1$ — в верхнем. В правильном шестиугольнике $AB \parallel DE$. Так как призма прямая, то $DE \parallel D_1E_1$. Из этого следует, что $AB \parallel D_1E_1$. Таким образом, эти прямые параллельны в пространстве.

Расстояние между ними можно найти как длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, где один катет — это высота призмы, а другой — расстояние между проекцией прямой $D_1E_1$ на нижнее основание (это прямая $DE$) и прямой $AB$.

Расстояние между $AB$ и $DE$ было найдено в пункте б) и равно $a\sqrt{3}$.

Высота призмы равна $a$.

По теореме Пифагора, искомое расстояние $d$ равно:

$d = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.

Ответ: $2a$.

Прямые $AB$ и $FC$ лежат в плоскости основания. В правильном шестиугольнике малая диагональ $FC$ параллельна стороне $AB$. Расстояние между этими параллельными прямыми можно найти как расстояние от точки на одной прямой до другой прямой.

Диагональ $FC$ проходит через центр шестиугольника $O$. Поэтому искомое расстояние равно расстоянию от центра $O$ до прямой $AB$. Это расстояние является апофемой правильного шестиугольника.

Апофема равна высоте в равностороннем треугольнике $OAB$ (где $OA=OB=AB=a$), опущенной из вершины $O$.

$d = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Прямая $AB$ лежит в нижнем основании, а $F_1C_1$ — в верхнем. В пункте д) было показано, что $AB \parallel FC$. В призме $FC \parallel F_1C_1$. Следовательно, $AB \parallel F_1C_1$.

Расстояние между этими параллельными в пространстве прямыми найдем по теореме Пифагора. Катетами будут высота призмы и расстояние между проекцией $F_1C_1$ на нижнее основание (прямая $FC$) и прямой $AB$.

Расстояние между $AB$ и $FC$ из пункта д) равно $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Высота призмы равна $a$.

Искомое расстояние $d$ равно:

$d = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2 + 4a^2}{4}} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{7}}{2}$.