Номер 348, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

348. Рёбра $BC$ и $AD$ треугольной пирамиды $ABCD$ перпендикулярны.

Докажите, что ребро $AD$ перпендикулярно одной из средних линий грани $ABC$.

Пусть дана треугольная пирамида $ABCD$. По условию задачи её рёбра $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Это означает, что угол между скрещивающимися прямыми, содержащими эти рёбра, равен $90^\circ$.

Рассмотрим грань $ABC$, которая представляет собой треугольник. В этом треугольнике можно провести три средние линии. Обозначим середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$ как $M$, $N$ и $K$ соответственно. Тогда средними линиями треугольника $ABC$ будут отрезки $MN$, $NK$ и $MK$.

Рассмотрим среднюю линию $MK$. По определению и свойству средней линии треугольника, она соединяет середины двух сторон ($AB$ и $AC$) и параллельна третьей стороне ($BC$). Таким образом, мы имеем $MK \parallel BC$.

Воспользуемся теоремой из стереометрии: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй прямой.

В нашем случае мы имеем:

• Прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$ (по условию: $AD \perp BC$).
• Прямая $MK$ параллельна прямой $BC$ (как средняя линия: $MK \parallel BC$).

Из этих двух фактов следует, что прямая $AD$ также перпендикулярна прямой $MK$, то есть $AD \perp MK$.

Так как $MK$ является одной из средних линий грани $ABC$, то мы доказали, что ребро $AD$ перпендикулярно одной из средних линий грани $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.