Номер 346, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

346. Есть треугольная пирамида $SABC$, все рёбра которой равны друг другу. На рёбрах $SC$, $SB$, $CB$ отмечены середины $U$, $V$, $Y$ соответственно, а на ребре $SA$ — произвольная точка $X$. Определите:

а) перпендикулярны ли прямые $UV$ и $YX$;

б) угол между прямыми $UV$ и $AY$.

а) перпендикулярны ли прямые UV и YX;

По условию, дана треугольная пирамида SABC, все рёбра которой равны. Это означает, что SABC – правильный тетраэдр, и все его грани являются равносторонними треугольниками.
Точки U и V – середины рёбер SC и SB соответственно. Следовательно, отрезок UV является средней линией треугольника SBC. По свойству средней линии, прямая UV параллельна прямой BC ($UV \parallel BC$).
Таким образом, вопрос о перпендикулярности прямых UV и YX сводится к вопросу о перпендикулярности прямых BC и YX.
Рассмотрим плоскость, содержащую треугольник ASY.
1. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник ABC. Y – середина стороны CB. Следовательно, AY является медианой. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой, поэтому $AY \perp CB$.
2. Боковая грань SBC также является равносторонним треугольником. Y – середина стороны CB. Следовательно, SY является медианой и высотой в этом треугольнике, поэтому $SY \perp CB$.
3. Прямые AY и SY пересекаются в точке Y и задают плоскость ASY. Поскольку прямая CB перпендикулярна двум пересекающимся прямым (AY и SY) в этой плоскости, то прямая CB перпендикулярна всей плоскости ASY ($CB \perp (ASY)$).
4. Точка X по условию лежит на ребре SA. Так как точки S и A принадлежат плоскости ASY, то и всё ребро SA лежит в этой плоскости. Значит, точка X также лежит в плоскости ASY. Точка Y по построению тоже принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая YX целиком лежит в плоскости ASY ($YX \subset (ASY)$).
5. Так как прямая CB перпендикулярна плоскости ASY, а прямая YX лежит в этой плоскости, то прямая CB перпендикулярна прямой YX ($CB \perp YX$).
6. Поскольку $UV \parallel BC$ и $BC \perp YX$, то и $UV \perp YX$.

Ответ: да, прямые UV и YX перпендикулярны.

б) угол между прямыми UV и AY.

Угол между скрещивающимися прямыми UV и AY – это угол между их направляющими векторами или угол между одной из прямых и любой прямой, параллельной второй и пересекающей первую.
Как было установлено в пункте а), отрезок UV является средней линией треугольника SBC, и поэтому прямая UV параллельна прямой BC ($UV \parallel BC$).
Следовательно, угол между прямыми UV и AY равен углу между прямыми BC и AY.
Обе прямые, BC и AY, лежат в плоскости основания ABC.
По условию, тетраэдр SABC правильный, значит, его основание – равносторонний треугольник ABC. Точка Y является серединой стороны CB. Отрезок AY является медианой этого треугольника.
В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к стороне, является также и высотой.
Следовательно, $AY \perp BC$, и угол между ними составляет $90^\circ$.
Так как $UV \parallel BC$, то угол между прямыми UV и AY также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.