Номер 340, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

340. Верно ли утверждение, что через данную точку можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости. Сколько существует таких плоскостей?

Верно ли утверждение, что через данную точку можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости?

Да, данное утверждение верно.

Пусть дана некоторая плоскость $\alpha$ и произвольная точка $M$ в пространстве. Согласно основной теореме стереометрии, через любую точку пространства проходит одна и только одна прямая, перпендикулярная данной плоскости. Проведем через точку $M$ прямую $a$ так, что $a \perp \alpha$.

Далее воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Таким образом, любая плоскость, которая содержит прямую $a$, будет перпендикулярна плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $a$ по построению проходит через точку $M$, то любая плоскость, содержащая прямую $a$, также будет проходить через точку $M$.

Это доказывает, что через любую данную точку всегда можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости.

Сколько существует таких плоскостей?

Как было установлено выше, любая плоскость, проходящая через прямую $a$ (где $a \perp \alpha$ и $M \in a$), удовлетворяет условию задачи.

Через одну прямую в пространстве можно провести бесконечное множество различных плоскостей. Этот набор плоскостей образует так называемый пучок плоскостей, осью которого является прямая $a$.

Следовательно, существует бесконечное множество плоскостей, проходящих через данную точку и перпендикулярных данной плоскости.

Ответ: Утверждение верно; существует бесконечное множество таких плоскостей.