Номер 337, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

337*. В треугольной пирамиде все рёбра основания равны $a$, а все боковые рёбра — $b$. Найдите двугранные углы этой пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где ABC – основание. По условию, все ребра основания равны a (AB = BC = CA = a), а все боковые ребра равны b (SA = SB = SC = b). В такой пирамиде вершина S проецируется в центр основания O. В силу симметрии правильной пирамиды, все двугранные углы при ребрах основания равны между собой, и все двугранные углы при боковых ребрах также равны между собой. Таким образом, нам нужно найти два различных двугранных угла.

Двугранный угол при ребре основания

Найдем двугранный угол при ребре BC. Этот угол равен углу между плоскостями основания (ABC) и боковой грани (SBC). Для построения линейного угла этого двугранного угла проведем апофему SM боковой грани SBC, где M – середина ребра BC. Так как треугольник SBC равнобедренный (SB = SC = b), то медиана SM является и высотой, то есть $SM \perp BC$. В основании лежит равносторонний треугольник ABC, поэтому его медиана AM также является высотой: $AM \perp BC$. Следовательно, линейным углом двугранного угла при ребре BC является угол $\angle SMA$. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM, где O – центр основания (проекция вершины S на плоскость ABC). Для нахождения угла $\alpha$ найдем длины катета OM и гипотенузы SM. OM – это радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника со стороной a он равен $OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. SM – апофема боковой грани, найдем ее из прямоугольного треугольника SMC по теореме Пифагора: $SM = \sqrt{SC^2 - MC^2} = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$.

Теперь из прямоугольного треугольника SOM найдем косинус угла $\alpha = \angle SMA$: $\cos \alpha = \frac{OM}{SM} = \frac{a\sqrt{3}/6}{\sqrt{4b^2-a^2}/2} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{4b^2-a^2}} = \frac{a\sqrt{3}}{3\sqrt{4b^2-a^2}}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{a\sqrt{3}}{3\sqrt{4b^2-a^2}}\right)$.

Двугранный угол при боковом ребре

Найдем двугранный угол при боковом ребре SA. Этот угол равен углу между плоскостями боковых граней (SAB) и (SAC). Для построения линейного угла проведем в треугольнике SAB высоту BK к стороне SA ($BK \perp SA$). Треугольники SAB и SAC равны по трем сторонам (SA – общая, AB = AC = a, SB = SC = b), поэтому высоты, проведенные к стороне SA из вершин B и C, будут равны и их основания совпадут в точке K. То есть, $CK \perp SA$ и $BK = CK$. Следовательно, линейным углом искомого двугранного угла является угол $\angle BKC$. Обозначим его $\beta$.

Для нахождения угла $\beta$ рассмотрим равнобедренный треугольник BKC ($BK=CK$, $BC=a$) и применим к нему теорему косинусов. Для этого сначала найдем длину боковой стороны BK. Площадь треугольника SAB можно выразить через высоту BK: $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} SA \cdot BK = \frac{1}{2}b \cdot BK$. Также площадь можно найти через основание AB и высоту SN к нему (N – середина AB): $SN = \sqrt{SB^2 - NB^2} = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}$. $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} AB \cdot SN = \frac{1}{2}a \cdot \frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}$. Приравняв выражения для площади, получим: $\frac{1}{2}b \cdot BK = \frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}$, откуда $BK = \frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{2b}$.

Теперь по теореме косинусов для треугольника BKC: $BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos \beta$ $a^2 = 2BK^2 - 2BK^2 \cos \beta = 2BK^2(1 - \cos \beta)$ $\cos \beta = 1 - \frac{a^2}{2BK^2}$. Подставим найденное выражение для $BK^2 = \left(\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{2b}\right)^2 = \frac{a^2(4b^2-a^2)}{4b^2}$: $\cos \beta = 1 - \frac{a^2}{2 \cdot \frac{a^2(4b^2-a^2)}{4b^2}} = 1 - \frac{a^2 \cdot 4b^2}{2a^2(4b^2-a^2)} = 1 - \frac{2b^2}{4b^2-a^2} = \frac{4b^2-a^2-2b^2}{4b^2-a^2} = \frac{2b^2-a^2}{4b^2-a^2}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2b^2-a^2}{4b^2-a^2}\right)$.