Номер 330, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

330. Из точек $C$ и $D$ ребра двугранного угла, равного $120^{\circ}$, в разных его гранях возведены перпендикуляры $CK$ и $DL$. Найдите длину отрезка $KL$, учитывая, что $CK = 3 \text{ см}$, $DL = 5 \text{ см}$, $CD = 24 \text{ см}$.

Решение:

Для нахождения длины отрезка $KL$ воспользуемся векторным методом. Выразим вектор $\vec{KL}$ через векторы, длины и углы между которыми нам известны. Для этого соединим точки $K$, $C$, $D$ и $L$ последовательно, образуя ломаную линию $K-C-D-L$. Вектор $\vec{KL}$ является замыкающим для этой ломаной, поэтому его можно представить как сумму векторов, составляющих ломаную:

$\vec{KL} = \vec{KC} + \vec{CD} + \vec{DL}$

Заметим, что $\vec{KC} = -\vec{CK}$. Тогда выражение примет вид:

$\vec{KL} = -\vec{CK} + \vec{CD} + \vec{DL}$

Найдем квадрат длины вектора $\vec{KL}$, который равен скалярному квадрату этого вектора:

$KL^2 = |\vec{KL}|^2 = (\vec{CD} + \vec{DL} - \vec{CK}) \cdot (\vec{CD} + \vec{DL} - \vec{CK})$

Раскроем скобки по правилу умножения многочленов:

$KL^2 = \vec{CD} \cdot \vec{CD} + \vec{DL} \cdot \vec{DL} + \vec{CK} \cdot \vec{CK} + 2(\vec{CD} \cdot \vec{DL}) - 2(\vec{CD} \cdot \vec{CK}) - 2(\vec{DL} \cdot \vec{CK})$

Теперь вычислим значения скалярных произведений:

1. $\vec{CD} \cdot \vec{CD} = |\vec{CD}|^2 = CD^2 = 24^2 = 576$.
2. $\vec{DL} \cdot \vec{DL} = |\vec{DL}|^2 = DL^2 = 5^2 = 25$.
3. $\vec{CK} \cdot \vec{CK} = |\vec{CK}|^2 = CK^2 = 3^2 = 9$.
4. По условию, перпендикуляр $CK$ возведен из точки $C$ ребра двугранного угла. Это означает, что отрезок $CK$ перпендикулярен ребру. Вектор $\vec{CD}$ лежит на ребре, следовательно, векторы $\vec{CK}$ и $\vec{CD}$ перпендикулярны. Их скалярное произведение равно нулю: $\vec{CD} \cdot \vec{CK} = 0$.
5. Аналогично, перпендикуляр $DL$ перпендикулярен ребру, на котором лежит вектор $\vec{CD}$. Поэтому $\vec{DL} \perp \vec{CD}$, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{CD} \cdot \vec{DL} = 0$.
6. Векторы $\vec{CK}$ и $\vec{DL}$ оба перпендикулярны ребру двугранного угла и лежат в его разных гранях. Угол между этими векторами равен углу двугранного угла, то есть $120^\circ$. Тогда их скалярное произведение равно:
   $\vec{DL} \cdot \vec{CK} = |\vec{DL}| \cdot |\vec{CK}| \cdot \cos(120^\circ) = 5 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = -7.5$.

Подставим все найденные значения в формулу для $KL^2$:

$KL^2 = 576 + 25 + 9 + 2(0) - 2(0) - 2(-7.5)$

$KL^2 = 576 + 25 + 9 + 15$

$KL^2 = 625$

Теперь найдем длину отрезка $KL$, взяв квадратный корень:

$KL = \sqrt{625} = 25$ см.

Ответ: 25 см.