Номер 323, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

323. Через сторону $CE$ треугольника $CDE$, у которого $CD = 9 \text{ м}$, $DE = 6 \text{ м}$ и $CE = 5 \text{ м}$, проходит плоскость $\rho$, составляющая с плоскостью треугольника угол, равный $45^\circ$. Найдите расстояние до плоскости $\rho$ от вершины $D$.

Пусть плоскость треугольника $CDE$ будет $\alpha$, а данная плоскость — $\rho$. Линией пересечения этих плоскостей является сторона $CE$. По условию, двугранный угол между плоскостями $\alpha$ и $\rho$ равен $45^\circ$.

Расстояние от вершины $D$ до плоскости $\rho$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на плоскость $\rho$. Обозначим этот перпендикуляр $DP$, где $P$ — основание перпендикуляра в плоскости $\rho$.

Для решения задачи найдем связь между расстоянием $DP$ и двугранным углом. Для этого построим линейный угол этого двугранного угла. Проведем в плоскости $\alpha$ (плоскости треугольника) высоту $DH$ к стороне $CE$. По определению высоты, $DH \perp CE$.

Прямая $PH$ является проекцией наклонной $DH$ на плоскость $\rho$. Согласно обратной теореме о трех перпендикулярах, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной. В нашем случае прямая $CE$ лежит в плоскости $\rho$ и $CE \perp DH$, следовательно, $CE \perp PH$.

Так как $DH \perp CE$ и $PH \perp CE$, то угол $\angle DHP$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\rho$. Следовательно, по условию задачи, $\angle DHP = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DPH$. Так как $DP$ — перпендикуляр к плоскости $\rho$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $P$. Значит, $DP \perp PH$, и треугольник $\triangle DPH$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $\triangle DPH$ искомое расстояние $DP$ является катетом. Мы можем найти его через гипотенузу $DH$ и угол $\angle DHP$:
$DP = DH \cdot \sin(\angle DHP) = DH \cdot \sin(45^\circ)$.

Следующим шагом найдем длину высоты $DH$ треугольника $CDE$. Нам известны все три стороны треугольника: $CD = 9$ м, $DE = 6$ м, $CE = 5$ м. Вычислим площадь треугольника $S_{CDE}$ по формуле Герона. Сначала найдем полупериметр $p$: $p = \frac{CD + DE + CE}{2} = \frac{9 + 6 + 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$ м.

Теперь вычислим площадь: $S_{CDE} = \sqrt{p(p-CD)(p-DE)(p-CE)} = \sqrt{10(10-9)(10-6)(10-5)} = \sqrt{10 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 5} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ м².

Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$. В нашем случае: $S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot DH$.

Выразим из этой формулы высоту $DH$: $DH = \frac{2S_{CDE}}{CE} = \frac{2 \cdot 10\sqrt{2}}{5} = \frac{20\sqrt{2}}{5} = 4\sqrt{2}$ м.

Наконец, подставим найденное значение $DH$ в формулу для вычисления расстояния $DP$: $DP = DH \cdot \sin(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ м.

Ответ: 4 м.