Номер 322, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

322. Основанием прямой призмы является треугольник $MNK$, в котором $MN = NK = 25$ см, $MK = 14$ см. Через сторону $MK$ проведена плоскость под углом $30^\circ$ к плоскости основания, пересекающая противоположное боковое ребро в точке $L$. Найдите:

а) отрезок $NL$ бокового ребра;

б) площадь полученного сечения.

Пусть дана прямая призма $MNKM_1N_1K_1$, где $MNK$ - нижнее основание. По условию, в основании лежит равнобедренный треугольник $MNK$, в котором боковые стороны $MN = NK = 25$ см, а основание $MK = 14$ см. Так как призма прямая, ее боковые ребра ($MM_1, NN_1, KK_1$) перпендикулярны плоскости основания. Через сторону основания $MK$ проведена секущая плоскость, которая пересекает противоположное боковое ребро $NN_1$ в точке $L$. Сечением является треугольник $MKL$. Угол между плоскостью сечения $(MKL)$ и плоскостью основания $(MNK)$ составляет $30^\circ$.

1. Угол между плоскостью сечения $(MKL)$ и плоскостью основания $(MNK)$ — это двугранный угол с ребром $MK$. Для его измерения построим линейный угол.

2. В треугольнике основания $MNK$ проведем высоту $NH$ к стороне $MK$. Так как треугольник $MNK$ равнобедренный с основанием $MK$, высота $NH$ является также и медианой. Следовательно, $H$ — середина отрезка $MK$ и $NH \perp MK$.

3. Найдем длину высоты $NH$ из прямоугольного треугольника $MNH$. Катет $MH$ равен половине основания $MK$: $MH = \frac{MK}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см. По теореме Пифагора: $NH = \sqrt{MN^2 - MH^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ см.

4. Так как призма прямая, боковое ребро $NN_1$ перпендикулярно плоскости основания $(MNK)$. Точка $L$ лежит на этом ребре, значит, отрезок $NL$ перпендикулярен плоскости $(MNK)$, и, в частности, $NL \perp NH$. Таким образом, треугольник $LNH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle LNH$.

5. Отрезок $NH$ является проекцией наклонной $LH$ на плоскость основания. Поскольку проекция $NH$ перпендикулярна прямой $MK$ в плоскости основания, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $LH$ также перпендикулярна $MK$. Следовательно, угол $\angle LHN$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(MKL)$ и $(MNK)$. По условию, $\angle LHN = 30^\circ$.

6. В прямоугольном треугольнике $LNH$ (с $\angle N = 90^\circ$) найдем катет $NL$, зная катет $NH=24$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle H = 30^\circ$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle LHN) = \frac{NL}{NH}$ $NL = NH \cdot \tan(30^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см.

Площадь полученного сечения, треугольника $MKL$, можно найти по формуле площади фигуры через площадь ее ортогональной проекции.

1. Ортогональной проекцией сечения $MKL$ на плоскость основания является треугольник $MNK$. Найдем площадь треугольника $MNK$: $S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot NH$ Используя найденные ранее значения $MK = 14$ см и $NH = 24$ см: $S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 7 \cdot 24 = 168$ см$^2$.

2. Площадь сечения $S_{MKL}$ связана с площадью его проекции $S_{MNK}$ и углом $\alpha$ между их плоскостями ($\alpha = 30^\circ$) следующей формулой: $S_{MNK} = S_{MKL} \cdot \cos(\alpha)$ Отсюда выражаем площадь сечения: $S_{MKL} = \frac{S_{MNK}}{\cos(\alpha)} = \frac{S_{MNK}}{\cos(30^\circ)}$ Подставляем значения: $S_{MKL} = \frac{168}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{168 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{336}{\sqrt{3}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем: $S_{MKL} = \frac{336\sqrt{3}}{3} = 112\sqrt{3}$ см$^2$.

(Альтернативный способ: найти площадь треугольника $MKL$ через его основание $MK$ и высоту $LH$. Из прямоугольного треугольника $LNH$: $LH = \frac{NH}{\cos(30^\circ)} = \frac{24}{\sqrt{3}/2} = 16\sqrt{3}$ см. Тогда $S_{MKL} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot LH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 16\sqrt{3} = 112\sqrt{3}$ см$^2$).

Ответ: $112\sqrt{3}$ см$^2$.