Номер 329, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

329. Боковые рёбра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, а их длина равна $l$. Найдите косинус угла, образованного плоскостью боковой грани с плоскостью основания.

Пусть дана треугольная пирамида SABC с вершиной S. По условию, боковые рёбра, выходящие из вершины S, взаимно перпендикулярны, то есть $SA \perp SB$, $SB \perp SC$ и $SC \perp SA$. Длины этих рёбер равны $l$: $SA = SB = SC = l$.

Требуется найти косинус угла, образованного плоскостью боковой грани (возьмём для определённости грань SBC) и плоскостью основания ABC. Этот угол является двугранным углом при ребре BC.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого в обеих плоскостях проведём перпендикуляры к их линии пересечения BC.

1. Рассмотрим боковую грань SBC. Треугольник SBC является прямоугольным, так как $SB \perp SC$. Также он равнобедренный, поскольку $SB = SC = l$. Проведём в нём высоту SM к гипотенузе BC. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой, следовательно, M — середина отрезка BC. По построению $SM \perp BC$.

2. Рассмотрим основание пирамиды — треугольник ABC. Найдём длины его сторон, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников SAB, SBC и SAC:

• В $\triangle SAB$: $AB^2 = SA^2 + SB^2 = l^2 + l^2 = 2l^2 \Rightarrow AB = l\sqrt{2}$.
• В $\triangle SBC$: $BC^2 = SB^2 + SC^2 = l^2 + l^2 = 2l^2 \Rightarrow BC = l\sqrt{2}$.
• В $\triangle SAC$: $AC^2 = SA^2 + SC^2 = l^2 + l^2 = 2l^2 \Rightarrow AC = l\sqrt{2}$.

Поскольку все стороны треугольника ABC равны ($AB = BC = AC = l\sqrt{2}$), он является равносторонним.

3. В равностороннем треугольнике ABC проведём отрезок AM. Так как M — середина BC (из пункта 1), AM является медианой. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой, поэтому $AM \perp BC$.

4. Мы построили два перпендикуляра SM и AM к общей прямой BC. Следовательно, угол $\angle SMA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями (SBC) и (ABC). Обозначим этот угол как $\alpha$. Чтобы найти его косинус, рассмотрим треугольник SMA.

5. Найдём длины сторон треугольника SMA:

• $SA = l$ (по условию).
• SM — медиана, проведённая к гипотенузе BC в прямоугольном треугольнике SBC. Длина медианы к гипотенузе равна половине длины гипотенузы: $SM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(l\sqrt{2}) = \frac{l\sqrt{2}}{2}$.
• AM — высота в равностороннем треугольнике ABC со стороной $a = l\sqrt{2}$. Высота равностороннего треугольника находится по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. $AM = \frac{(l\sqrt{2})\sqrt{3}}{2} = \frac{l\sqrt{6}}{2}$.

6. Теперь применим теорему косинусов к треугольнику SMA для нахождения $\cos(\alpha) = \cos(\angle SMA)$:$SA^2 = SM^2 + AM^2 - 2 \cdot SM \cdot AM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения:$l^2 = \left(\frac{l\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{l\sqrt{6}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{l\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{l\sqrt{6}}{2}\right) \cdot \cos(\alpha)$$l^2 = \frac{2l^2}{4} + \frac{6l^2}{4} - \frac{2l^2\sqrt{12}}{4} \cdot \cos(\alpha)$$l^2 = \frac{8l^2}{4} - \frac{l^2 \cdot 2\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\alpha)$$l^2 = 2l^2 - l^2\sqrt{3} \cdot \cos(\alpha)$

Разделим все члены уравнения на $l^2$ (так как $l \neq 0$):$1 = 2 - \sqrt{3} \cdot \cos(\alpha)$$\sqrt{3} \cdot \cos(\alpha) = 2 - 1$$\sqrt{3} \cdot \cos(\alpha) = 1$$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.