Номер 333, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

333. Найдите двугранный угол, образованный двумя боковыми гранями четырёхугольной пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной $20\sqrt{3}$ см, а боковые рёбра равны 30 см каждое.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида S-ABCD, где S — вершина, а ABCD — квадратное основание. По условию задачи, сторона основания $a = 20\sqrt{3}$ см, а боковые рёбра $l = SA = SB = SC = SD = 30$ см.

Требуется найти двугранный угол, образованный двумя смежными боковыми гранями, например, гранями SBC и SCD. Этот угол измеряется линейным углом, который образуется двумя перпендикулярами, проведёнными к общему ребру SC в одной его точке, по одному в каждой из плоскостей граней.

Проведём в треугольнике SBC высоту BH к стороне SC. Таким образом, $BH \perp SC$. Так как пирамида правильная, её боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Следовательно, треугольники $\triangle SBC$ и $\triangle SCD$ равны. Это означает, что высота DH, проведённая из вершины D к стороне SC в треугольнике $\triangle SCD$, попадёт в ту же точку H, и её длина будет равна длине высоты BH ($DH = BH$).

Искомый линейный угол — это угол $\angle BHD$ в треугольнике BHD. Чтобы найти этот угол, мы найдём длины всех сторон треугольника BHD и воспользуемся теоремой косинусов.

Сначала найдём длину диагонали основания BD. Так как ABCD — квадрат со стороной $a = 20\sqrt{3}$ см, его диагональ равна:

$BD = a\sqrt{2} = 20\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 20\sqrt{6}$ см.

Теперь найдём длину высоты BH в равнобедренном треугольнике SBC. Стороны этого треугольника равны $SB=SC=30$ см и $BC=20\sqrt{3}$ см. Площадь треугольника SBC можно вычислить двумя способами. Найдём сначала высоту SM, проведённую к основанию BC. Точка M — середина BC, поэтому $MC = \frac{1}{2} BC = 10\sqrt{3}$ см. Из прямоугольного треугольника SMC по теореме Пифагора:

$SM = \sqrt{SC^2 - MC^2} = \sqrt{30^2 - (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{900 - 300} = \sqrt{600} = 10\sqrt{6}$ см.

Площадь треугольника SBC равна:

$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{3} \cdot 10\sqrt{6} = 100\sqrt{18} = 100 \cdot 3\sqrt{2} = 300\sqrt{2}$ см$^2$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через высоту BH, проведённую к стороне SC:

$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot SC \cdot BH$

Отсюда найдём BH:

$300\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot BH$

$300\sqrt{2} = 15 \cdot BH$

$BH = \frac{300\sqrt{2}}{15} = 20\sqrt{2}$ см.

Как отмечалось ранее, из-за симметрии пирамиды $DH = BH = 20\sqrt{2}$ см.

Теперь у нас есть все стороны треугольника BHD: $BH = 20\sqrt{2}$ см, $DH = 20\sqrt{2}$ см и $BD = 20\sqrt{6}$ см. Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle BHD$ (обозначим его как $\alpha$):

$BD^2 = BH^2 + DH^2 - 2 \cdot BH \cdot DH \cdot \cos(\alpha)$

$(20\sqrt{6})^2 = (20\sqrt{2})^2 + (20\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (20\sqrt{2}) \cdot (20\sqrt{2}) \cdot \cos(\alpha)$

$400 \cdot 6 = 400 \cdot 2 + 400 \cdot 2 - 2 \cdot (400 \cdot 2) \cdot \cos(\alpha)$

$2400 = 800 + 800 - 1600 \cdot \cos(\alpha)$

$2400 = 1600 - 1600 \cdot \cos(\alpha)$

$800 = -1600 \cdot \cos(\alpha)$

$\cos(\alpha) = -\frac{800}{1600} = -\frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, составляет $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.