Номер 328, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

328. Из точек $A$ и $B$ ребра двугранного угла, равного $120^\circ$, в разных его гранях возведены перпендикуляры $AC$ и $BD$ к ребру. Найдите отрезок $CD$, учитывая, что $AB = AC = BD = a$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Найдем квадрат длины отрезка $CD$ как скалярный квадрат вектора $\vec{CD}$.

Выразим вектор $\vec{CD}$ через векторы $\vec{CA}$, $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ по правилу замыкания ломаной (правило многоугольника):

$\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BD}$

Тогда квадрат длины отрезка $CD$ равен скалярному квадрату этого вектора:

$CD^2 = |\vec{CD}|^2 = (\vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BD})^2$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$CD^2 = |\vec{CA}|^2 + |\vec{AB}|^2 + |\vec{BD}|^2 + 2(\vec{CA} \cdot \vec{AB}) + 2(\vec{CA} \cdot \vec{BD}) + 2(\vec{AB} \cdot \vec{BD})$

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности, исходя из условий задачи:

1. По условию $AC = AB = BD = a$. Следовательно, модули (длины) соответствующих векторов равны $a$:

$|\vec{CA}| = AC = a$

$|\vec{AB}| = AB = a$

$|\vec{BD}| = BD = a$

Таким образом, квадраты их модулей: $|\vec{CA}|^2 = a^2$, $|\vec{AB}|^2 = a^2$, $|\vec{BD}|^2 = a^2$.

2. По условию, $AC$ и $BD$ — перпендикуляры к ребру двугранного угла, на котором лежат точки $A$ и $B$. Это означает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ перпендикулярны вектору $\vec{AB}$, который направлен вдоль ребра.

Поскольку $\vec{AC} \perp \vec{AB}$, то и $\vec{CA} \perp \vec{AB}$. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:

$\vec{CA} \cdot \vec{AB} = 0$

Аналогично, $\vec{BD} \perp \vec{AB}$, поэтому:

$\vec{AB} \cdot \vec{BD} = 0$

3. Найдем скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{BD}$. Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ лежат в гранях двугранного угла и перпендикулярны его ребру. Угол между этими векторами (при совмещении их начал) равен линейному углу двугранного угла, то есть $120^\circ$.

Нам нужно найти угол между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{BD}$. Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$. Следовательно, угол между $\vec{CA}$ и $\vec{BD}$ будет смежным с углом между $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ и равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Тогда их скалярное произведение равно:

$\vec{CA} \cdot \vec{BD} = |\vec{CA}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

Теперь подставим все найденные значения в формулу для $CD^2$:

$CD^2 = a^2 + a^2 + a^2 + 2(0) + 2\left(\frac{a^2}{2}\right) + 2(0)$

$CD^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим длину отрезка $CD$:

$CD = \sqrt{4a^2} = 2a$

Ответ: $2a$.