Номер 324, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

324. Ребро $CD$ треугольной пирамиды $ABCD$ перпендикулярно плоскости $ABC$, $AB = BC = AC = 6$ и $BD = 3\sqrt{7}$. Найдите двугранные углы $DACB, DABC, BDCA$.

По условию задачи, ребро $CD$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Это означает, что $CD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности $CD \perp AC$ и $CD \perp BC$. Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как $AB = BC = AC = 6$. Все его углы равны $60^\circ$.

Для начала найдем длину ребра $CD$. Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как $CD \perp BC$, то $\Delta BCD$ — прямоугольный с прямым углом $C$. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BC^2 + CD^2$

Подставим известные значения:

$(3\sqrt{7})^2 = 6^2 + CD^2$

$9 \cdot 7 = 36 + CD^2$

$63 = 36 + CD^2$

$CD^2 = 63 - 36 = 27$

$CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

Теперь найдем искомые двугранные углы.

DACB

Двугранный угол $DACB$ образован плоскостями $DAC$ и $ACB$. Линия их пересечения — ребро $AC$. Поскольку ребро $CD$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а ребро $CD$ лежит в плоскости $DAC$, то по признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость $DAC$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Следовательно, двугранный угол между этими плоскостями равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

DABC

Двугранный угол $DABC$ образован плоскостями $DAB$ и $CAB$. Линия их пересечения — ребро $AB$. Для нахождения этого угла построим его линейный угол. Проведем в равностороннем треугольнике $ABC$ высоту $CM$ к стороне $AB$. Так как треугольник равносторонний, высота $CM$ является также и медианой, поэтому $M$ — середина $AB$. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$CM = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

Поскольку $CD \perp \text{пл.}ABC$, то $CD$ — перпендикуляр к плоскости, $DM$ — наклонная, а $CM$ — проекция наклонной $DM$ на плоскость $ABC$. Так как проекция $CM$ перпендикулярна прямой $AB$ ($CM \perp AB$), то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $DM$ перпендикулярна прямой $AB$ ($DM \perp AB$).

Следовательно, $\angle CMD$ является линейным углом двугранного угла $DABC$. Рассмотрим треугольник $CDM$. Так как $CD \perp \text{пл.}ABC$ и $CM \in \text{пл.}ABC$, то $CD \perp CM$. Значит, $\Delta CDM$ — прямоугольный с прямым углом $C$.

Найдем тангенс угла $CMD$:

$\tan(\angle CMD) = \frac{CD}{CM}$

Мы ранее вычислили, что $CD = 3\sqrt{3}$ и $CM = 3\sqrt{3}$.

$\tan(\angle CMD) = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$. Таким образом, $\angle CMD = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

BDCA

Двугранный угол $BDCA$ образован плоскостями $BDC$ и $ADC$. Линия их пересечения — ребро $DC$. Для нахождения линейного угла из точки $C$ на ребре $DC$ проведем перпендикуляры в каждой из плоскостей. В плоскости $BDC$ проведем прямую $BC$. Так как $CD \perp \text{пл.}ABC$, то $CD \perp BC$. В плоскости $ADC$ проведем прямую $AC$. Так как $CD \perp \text{пл.}ABC$, то $CD \perp AC$. Следовательно, линейным углом двугранного угла $BDCA$ является угол $\angle BCA$.

По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний, поэтому все его углы равны $60^\circ$.

$\angle BCA = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.