Номер 318, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

318. Плоскость прямоугольного треугольника $ABC$ наклонена к плоскости $\alpha$ под углом в $45^\circ$ (рис. 325). Найдите расстояние вершины прямого угла C от плоскости $\alpha$, учитывая, что $\angle ABC = 60^\circ$, $BC = a$.

Рис. 325

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Плоскость этого треугольника наклонена к плоскости $\alpha$ под углом $45^\circ$. Нам необходимо найти расстояние от вершины $C$ до плоскости $\alpha$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Проведем перпендикуляр $CC_1$ из точки $C$ к плоскости $\alpha$. Длина отрезка $CC_1$ и есть искомое расстояние.

Из рисунка видно, что гипотенуза $AB$ треугольника $ABC$ лежит на линии пересечения плоскости треугольника и плоскости $\alpha$. Угол между плоскостями определяется линейным углом соответствующего двугранного угла. Чтобы построить этот линейный угол, проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $CD$ к гипотенузе $AB$. Таким образом, $CD \perp AB$.

Так как $CC_1$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а $CD$ — наклонная к этой плоскости, то отрезок $C_1D$ является проекцией наклонной $CD$ на плоскость $\alpha$. По теореме о трех перпендикулярах, поскольку наклонная $CD$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости $\alpha$, то и ее проекция $C_1D$ также перпендикулярна $AB$.

Таким образом, мы имеем две прямые, $CD$ и $C_1D$, перпендикулярные линии пересечения плоскостей $AB$. Угол между этими прямыми, $\angle CDC_1$, и есть линейный угол двугранного угла между плоскостями. По условию, этот угол равен $45^\circ$, то есть $\angle CDC_1 = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $CC_1D$. Он является прямоугольным, так как $CC_1 \perp \alpha$, а значит $CC_1 \perp C_1D$. В этом треугольнике мы можем выразить искомую длину $CC_1$ через $CD$: $CC_1 = CD \cdot \sin(\angle CDC_1) = CD \cdot \sin(45^\circ)$.

Теперь найдем длину высоты $CD$ в треугольнике $ABC$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $CDB$ (он прямоугольный, так как $CD \perp AB$). В этом треугольнике известны гипотенуза $BC = a$ и угол $\angle CBD = \angle ABC = 60^\circ$. Катет $CD$ находится напротив известного угла, поэтому: $CD = BC \cdot \sin(\angle CBD) = a \cdot \sin(60^\circ)$.

Используя значение синуса $60^\circ$: $CD = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, подставим найденное значение $CD$ в формулу для $CC_1$: $CC_1 = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \sin(45^\circ)$.

Используя значение синуса $45^\circ$: $CC_1 = a \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{4}$.