Номер 315, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

315. Все рёбра треугольной пирамиды $ABCD$ равны друг другу, а точка $M$ — середина ребра $AC$. Докажите, что угол $\angle DMB$ является линейным углом двугранного угла $\angle BACD$.

По условию задачи дана треугольная пирамида $ABCD$, все рёбра которой равны друг другу. Это означает, что все грани пирамиды являются равносторонними треугольниками, а сама пирамида является правильным тетраэдром. Точка $M$ — середина ребра $AC$.

Требуется доказать, что угол $∠DMB$ является линейным углом двугранного угла $BACD$. Двугранный угол $BACD$ образован двумя плоскостями, содержащими грани $ABC$ и $ADC$. Эти плоскости пересекаются по прямой $AC$, которая является ребром двугранного угла.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя лучами, которые проведены в гранях двугранного угла из одной точки на его ребре и перпендикулярны этому ребру. Для доказательства нам необходимо установить, что отрезки $BM$ и $DM$ перпендикулярны ребру $AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как все рёбра пирамиды равны, то треугольник $ΔABC$ является равносторонним. В нём отрезок $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой противолежащей стороны $AC$. Следовательно, $BM$ является медианой треугольника $ΔABC$. В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой из сторон, является также её высотой и биссектрисой. Таким образом, $BM$ является высотой, а значит, $BM \perp AC$.

Аналогично рассмотрим треугольник $ADC$. Он также является равносторонним. Отрезок $DM$ соединяет вершину $D$ с серединой стороны $AC$, то есть $DM$ — медиана треугольника $ΔADC$. Как и в предыдущем случае, медиана в равностороннем треугольнике является и высотой. Следовательно, $DM \perp AC$.

Итак, мы имеем:

• Отрезок $BM$ лежит в плоскости $(ABC)$ и перпендикулярен ребру $AC$.
• Отрезок $DM$ лежит в плоскости $(ADC)$ и перпендикулярен ребру $AC$.
• Оба отрезка исходят из одной и той же точки $M$ на ребре $AC$.

По определению, угол $∠DMB$, образованный этими двумя отрезками, является линейным углом двугранного угла $BACD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.