Номер 309, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

309. Дан прямой параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 321). Назовите его:

a) прямые двугранные углы;

б) перпендикулярные грани.

Рис. 321

Дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В таком параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. То есть, ребра $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ перпендикулярны плоскостям $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Основаниями ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$) являются параллелограммы, а боковыми гранями ($ABB_1A_1, BCC_1B_1, CDD_1C_1, ADD_1A_1$) — прямоугольники.

а) прямые двугранные углы

Двугранный угол называется прямым, если его величина равна $90^\circ$. Это означает, что плоскости, образующие угол, перпендикулярны.

В прямом параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны основаниям. Рассмотрим, например, двугранный угол между боковой гранью $ABB_1A_1$ и нижним основанием $ABCD$. Их общим ребром является прямая $AB$. Поскольку боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ и лежит в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$, то плоскость грани $ABB_1A_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Следовательно, двугранный угол между ними — прямой.

Аналогичное рассуждение применимо ко всем боковым граням и обоим основаниям. Таким образом, прямыми являются все двугранные углы при ребрах оснований.

Перечислим их, указывая ребро, при котором образован угол:

• двугранный угол при ребре $AB$ (между гранями $ABB_1A_1$ и $ABCD$);
• двугранный угол при ребре $BC$ (между гранями $BCC_1B_1$ и $ABCD$);
• двугранный угол при ребре $CD$ (между гранями $CDD_1C_1$ и $ABCD$);
• двугранный угол при ребре $DA$ (между гранями $ADD_1A_1$ и $ABCD$);
• двугранный угол при ребре $A_1B_1$ (между гранями $ABB_1A_1$ и $A_1B_1C_1D_1$);
• двугранный угол при ребре $B_1C_1$ (между гранями $BCC_1B_1$ и $A_1B_1C_1D_1$);
• двугранный угол при ребре $C_1D_1$ (между гранями $CDD_1C_1$ и $A_1B_1C_1D_1$);
• двугранный угол при ребре $D_1A_1$ (между гранями $ADD_1A_1$ и $A_1B_1C_1D_1$).

Двугранные углы при боковых ребрах (например, $AA_1$) измеряются плоскими углами основания (например, $\angle DAB$). Так как основание в общем случае является параллелограммом, а не прямоугольником, эти углы не обязательно прямые.

Ответ: Прямыми являются двугранные углы при ребрах оснований: $AB, BC, CD, DA, A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$.

б) перпендикулярные грани

Грани многогранника называются перпендикулярными, если плоскости, в которых они лежат, взаимно перпендикулярны. Это эквивалентно тому, что двугранный угол между ними является прямым.

Из пункта а) следует, что каждая боковая грань перпендикулярна каждому из оснований.

Таким образом, перпендикулярными являются следующие пары граней:

• Боковая грань $ABB_1A_1$ перпендикулярна основаниям $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.
• Боковая грань $BCC_1B_1$ перпендикулярна основаниям $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.
• Боковая грань $CDD_1C_1$ перпендикулярна основаниям $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.
• Боковая грань $ADD_1A_1$ перпендикулярна основаниям $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

Смежные боковые грани (например, $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$) в общем случае не перпендикулярны, так как угол между ними равен углу в основании ($\angle DAB$), который не обязательно равен $90^\circ$. Они были бы перпендикулярны, если бы параллелепипед был прямоугольным.

Ответ: Каждая боковая грань ($ABB_1A_1, BCC_1B_1, CDD_1C_1, ADD_1A_1$) перпендикулярна каждому из оснований ($ABCD, A_1B_1C_1D_1$).