Номер 311, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

311. Верно ли, что если двугранный угол $\alpha AB \beta$ разбить на два двугранных угла $\alpha AB \gamma$ и $\gamma AB \beta$ (рис. 322), то линейный угол двугранного угла $\alpha AB \beta$ равен сумме линейных углов двугранных углов $\alpha AB \gamma$ и $\gamma AB \beta$? Рис. 321

Рис. 322

Да, данное утверждение верно.

Решение:

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями (гранями), исходящими из одной прямой (ребра). Мерой двугранного угла является его линейный угол.

Чтобы построить линейный угол двугранного угла $ \alpha AB \beta $, нужно в любой точке $ O $ на ребре $ AB $ провести в плоскости $ \alpha $ луч $ Oa \perp AB $ и в плоскости $ \beta $ луч $ Ob \perp AB $. Угол $ \angle aOb $ и будет линейным углом двугранного угла $ \alpha AB \beta $.

Согласно условию задачи, двугранный угол $ \alpha AB \beta $ разбит плоскостью $ \gamma $, проходящей через ребро $ AB $, на два двугранных угла: $ \alpha AB \gamma $ и $ \gamma AB \beta $.

Построим линейные углы для всех трех двугранных углов из одной общей точки $ O $ на ребре $ AB $:

• В плоскости $ \alpha $ проведем луч $ Oa \perp AB $.
• В плоскости $ \beta $ проведем луч $ Ob \perp AB $.
• В плоскости $ \gamma $ проведем луч $ Oc \perp AB $.

Таким образом, мы получили три линейных угла:

• $ \angle aOb $ — линейный угол двугранного угла $ \alpha AB \beta $.
• $ \angle aOc $ — линейный угол двугранного угла $ \alpha AB \gamma $.
• $ \angle cOb $ — линейный угол двугранного угла $ \gamma AB \beta $.

Все три луча $ Oa, Ob, Oc $ лежат в одной плоскости $ \delta $, которая перпендикулярна ребру $ AB $ (как показано на рисунке). Поскольку плоскость $ \gamma $ находится между плоскостями $ \alpha $ и $ \beta $, то и луч $ Oc $ в плоскости $ \delta $ будет находиться между лучами $ Oa $ и $ Ob $.

Согласно аксиоме измерения углов в планиметрии, если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих двух углов. Следовательно, для наших линейных углов, лежащих в одной плоскости $ \delta $, справедливо равенство:$ \angle aOb = \angle aOc + \angle cOb $

Это означает, что линейный угол двугранного угла $ \alpha AB \beta $ действительно равен сумме линейных углов двугранных углов $ \alpha AB \gamma $ и $ \gamma AB \beta $.

Ответ: Да, верно.