Номер 310, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

310. Учитывая, что точка $T$ — середина ребра $QR$ треугольной пирамиды $OPQR$, у которой основанием является правильный треугольник $PQR$, а боковые рёбра равны друг другу, определите, является ли угол:

а) $PRO$ линейным углом двугранного угла $PRQO$;

б) $PTO$ линейным углом двугранного угла $PRQO$.

а)

Двугранный угол $PRQO$ образован гранями $PQR$ (основание) и $OQR$ (боковая грань), которые пересекаются по ребру $QR$.

Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре двугранного угла, лежат в его гранях и перпендикулярны этому ребру.

Рассмотрим угол $PRO$. Его вершина $R$ принадлежит ребру $QR$. Чтобы этот угол был линейным углом двугранного угла $PRQO$, лучи $RP$ и $RO$ должны быть перпендикулярны ребру $QR$.

Проверим, перпендикулярен ли луч $RP$ ребру $QR$. Эти лучи являются сторонами треугольника $PQR$ в основании. По условию, треугольник $PQR$ — правильный, поэтому все его углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle PRQ = 60^\circ$.

Так как $\angle PRQ \neq 90^\circ$, то сторона $PR$ не перпендикулярна ребру $QR$. Поскольку одно из условий определения линейного угла не выполняется, угол $PRO$ не является линейным углом двугранного угла $PRQO$.

Ответ: нет, не является.

б)

Рассмотрим угол $PTO$. Его вершина $T$ — середина ребра $QR$, следовательно, точка $T$ лежит на ребре двугранного угла. Чтобы угол $PTO$ был линейным углом двугранного угла $PRQO$, необходимо, чтобы отрезки $PT$ и $OT$ были перпендикулярны ребру $QR$.

1. Рассмотрим отрезок $PT$ в плоскости основания $PQR$. Так как треугольник $PQR$ — правильный, а $T$ — середина стороны $QR$, то $PT$ является медианой этого треугольника. В правильном треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также и высотой. Следовательно, $PT \perp QR$.

2. Рассмотрим отрезок $OT$ в плоскости боковой грани $OQR$. По условию, боковые рёбра пирамиды равны: $OQ = OR$. Значит, треугольник $OQR$ — равнобедренный с основанием $QR$. Так как $T$ — середина основания $QR$, то $OT$ является медианой этого треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $OT \perp QR$.

Таким образом, оба условия выполнены: отрезки $PT$ и $OT$ исходят из одной точки $T$ на ребре $QR$ и оба перпендикулярны этому ребру. Следовательно, по определению, угол $PTO$ является линейным углом двугранного угла $PRQO$.

Ответ: да, является.