Номер 316, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

316. Две точки одной грани двугранного угла отстоят от его ребра на 51 см и 34 см, а первая из них отстоит от второй грани на 15 см. Найдите расстояние до этой грани от другой точки.

Пусть дан двугранный угол, образованный гранями $\alpha$ и $\beta$, с ребром $l$. В грани $\alpha$ находятся две точки, назовем их A (первая) и B (вторая).

Расстояние от точки до ребра угла, лежащей в одной из граней, — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на ребро в плоскости этой грани. Обозначим эти расстояния для точек A и B как $d_A$ и $d_B$ соответственно.
$d_A = 51$ см
$d_B = 34$ см

Расстояние от точки до другой грани — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость другой грани. Обозначим эти расстояния как $h_A$ и $h_B$.
$h_A = 15$ см
$h_B = ?$

Рассмотрим линейный угол $\phi$ данного двугранного угла. Его величина постоянна в любой точке ребра $l$. Синус этого угла можно выразить через заданные расстояния. Для любой точки в грани $\alpha$ отношение ее расстояния до грани $\beta$ ($h$) к ее расстоянию до ребра $l$ ($d$) равно синусу линейного угла $\phi$:
$\sin(\phi) = \frac{h}{d}$

Это соотношение справедливо для обеих точек. Для точки A имеем:
$\sin(\phi) = \frac{h_A}{d_A} = \frac{15}{51}$

Для точки B имеем:
$\sin(\phi) = \frac{h_B}{d_B} = \frac{h_B}{34}$

Поскольку левые части выражений равны (так как угол $\phi$ один и тот же), мы можем приравнять и правые части:
$\frac{15}{51} = \frac{h_B}{34}$

Выразим из этого уравнения искомую величину $h_B$:
$h_B = 34 \cdot \frac{15}{51}$

Проведем вычисления. Сначала сократим дробь $\frac{15}{51}$ на общий делитель 3:
$\frac{15 \div 3}{51 \div 3} = \frac{5}{17}$
Теперь подставим упрощенную дробь обратно в выражение для $h_B$:
$h_B = 34 \cdot \frac{5}{17} = \frac{34 \cdot 5}{17} = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: 10 см.