Номер 319, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

319. Через гипотенузу $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ под углом в $45^\circ$ к его плоскости проведена плоскость $\gamma$, отстоящая от вершины прямого угла $C$ на $l$ (рис. 326). Найдите площадь треугольника $ABC$.

Рис. 326

Пусть `△ABC` — данный равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине `C`. Это означает, что его катеты равны: `AC = BC`.

Плоскость `γ` проходит через гипотенузу `AB`. Угол между плоскостью треугольника `(ABC)` и плоскостью `γ` составляет `45°`. Расстояние от вершины `C` до плоскости `γ` по условию равно `l`.

Для нахождения этого расстояния и связи его с элементами треугольника выполним следующие построения, как показано на рисунке:

1. Опустим перпендикуляр `CC_1` из точки `C` на плоскость `γ`. По определению, `CC_1` — это и есть расстояние от точки `C` до плоскости `γ`, следовательно, `CC_1 = l`. Прямая `CC_1` перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости `γ`.

2. В треугольнике `ABC` проведем медиану `CD` к гипотенузе `AB`. Поскольку `△ABC` является равнобедренным прямоугольным треугольником, его медиана, проведенная из вершины прямого угла, является также и высотой. Таким образом, `CD ⊥ AB`.

3. Рассмотрим отрезок `C_1D`. Он является проекцией наклонной `CD` на плоскость `γ`. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная `CD` перпендикулярна прямой `AB` (лежащей в плоскости `γ`), то и ее проекция `C_1D` также перпендикулярна этой прямой `AB`. Значит, `C_1D ⊥ AB`.

4. Угол между двумя плоскостями (в данном случае `(ABC)` и `γ`) измеряется линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Этот угол строится как угол между двумя перпендикулярами к линии их пересечения (`AB`), проведенными в одной точке. Мы построили такие перпендикуляры: `CD ⊥ AB` и `C_1D ⊥ AB`. Следовательно, угол `∠CDC_1` — это линейный угол двугранного угла, и по условию `∠CDC_1 = 45°`.

Теперь рассмотрим треугольник `△CC_1D`.

Так как `CC_1 ⊥ γ`, то `CC_1 ⊥ C_1D`. Это означает, что `△CC_1D` — прямоугольный треугольник с прямым углом `∠CC_1D = 90°`. В этом треугольнике нам известны катет `CC_1 = l` и острый угол `∠CDC_1 = 45°`. Мы можем найти длину гипотенузы `CD` этого треугольника:

$\sin(∠CDC_1) = \frac{CC_1}{CD}$

$CD = \frac{CC_1}{\sin(45°)} = \frac{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2l}{\sqrt{2}} = l\sqrt{2}$

Теперь вернемся к исходному треугольнику `△ABC`. Отрезок `CD` является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству прямоугольного треугольника, медиана к гипотенузе равна ее половине:

$CD = \frac{1}{2}AB$

Отсюда мы можем найти длину гипотенузы `AB`:

$AB = 2 \cdot CD = 2 \cdot l\sqrt{2} = 2l\sqrt{2}$

Для нахождения площади треугольника `ABC` нам нужно знать длины его катетов. Пусть `AC = BC = a`. По теореме Пифагора для `△ABC`:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$a^2 + a^2 = (2l\sqrt{2})^2$

$2a^2 = 4l^2 \cdot 2$

$2a^2 = 8l^2$

$a^2 = 4l^2$

Площадь прямоугольного треугольника `ABC` вычисляется по формуле:

$S_{△ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2}a^2$

Подставим найденное значение `a^2`:

$S_{△ABC} = \frac{1}{2}(4l^2) = 2l^2$

Ответ: $2l^2$.