Номер 314, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

314. Есть два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани вместе составляют плоскость. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна $180^\circ$.

Пусть даны два двугранных угла. Обозначим полуплоскости, которые образуют эти углы, как $P_1$, $P_2$ и $P_3$. Пусть ребро этих двугранных углов — прямая $a$.

Первый двугранный угол образован полуплоскостями $P_1$ и $P_2$, которые пересекаются по прямой $a$.
Второй двугранный угол образован полуплоскостями $P_2$ и $P_3$, которые также пересекаются по прямой $a$.

Полуплоскость $P_2$ является общей гранью для этих двух двугранных углов. По условию задачи, две другие грани, $P_1$ и $P_3$, вместе составляют одну плоскость, назовем ее $\gamma$. Это означает, что $P_1$ и $P_3$ — это две полуплоскости, на которые прямая $a$ делит плоскость $\gamma$.

Для измерения двугранного угла используется его линейный угол. Построим линейные углы для обоих двугранных углов. Для этого выберем на общем ребре $a$ произвольную точку $O$.

В плоскости $\gamma$ проведем через точку $O$ прямую $b$, перпендикулярную прямой $a$. Прямая $b$ разделяется точкой $O$ на два луча: луч $l_1$, лежащий в полуплоскости $P_1$, и луч $l_3$, лежащий в полуплоскости $P_3$. Поскольку полуплоскости $P_1$ и $P_3$ вместе образуют плоскость $\gamma$, лучи $l_1$ и $l_3$ лежат на одной прямой $b$ и являются дополнительными друг к другу. Угол между ними является развернутым и равен $180^\circ$.

Теперь в общей полуплоскости $P_2$ проведем из точки $O$ луч $l_2$, перпендикулярный прямой $a$.

По определению, величина первого двугранного угла (между $P_1$ и $P_2$) равна величине его линейного угла, который образован лучами $l_1$ и $l_2$. Обозначим этот угол как $\angle(l_1, l_2)$.

Аналогично, величина второго двугранного угла (между $P_2$ и $P_3$) равна величине его линейного угла, который образован лучами $l_2$ и $l_3$. Обозначим этот угол как $\angle(l_2, l_3)$.

Все три луча $l_1$, $l_2$ и $l_3$ лежат в одной плоскости (назовем ее $\pi$), которая перпендикулярна ребру $a$ в точке $O$. В этой плоскости $\pi$ лучи $l_1$ и $l_3$ образуют развернутый угол. Углы $\angle(l_1, l_2)$ и $\angle(l_2, l_3)$ являются смежными, так как у них общая сторона $l_2$, а две другие стороны, $l_1$ и $l_3$, являются дополнительными лучами.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Следовательно:$$ \angle(l_1, l_2) + \angle(l_2, l_3) = 180^\circ $$

Поскольку величины двугранных углов равны величинам их линейных углов, сумма данных двугранных углов также равна $180^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма данных двугранных углов равна $180^\circ$.