Номер 312, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

312. Из вершины $X$ треугольника $XYZ$, сторона $YZ$ которого лежит в плоскости $\beta$, проведена высота $XA$ и перпендикуляр $XP$ к плоскости $\beta$ (рис. 323). Докажите, что угол $XAP$ — линейный угол двугранного угла $XYZP$.

Рис. 323

Двугранный угол, о котором идет речь в задаче, образован плоскостью треугольника XYZ и плоскостью $\beta$. Линия пересечения этих двух плоскостей, то есть ребро двугранного угла, — это прямая YZ, поскольку сторона YZ треугольника по условию лежит в плоскости $\beta$.

По определению, линейным углом двугранного угла называется угол между двумя лучами, которые проведены в гранях двугранного угла перпендикулярно его ребру из одной точки на ребре. Чтобы доказать, что $\angle XAP$ является линейным углом двугранного угла XYZP, нам нужно показать, что лучи AX и AP перпендикулярны ребру YZ и лежат в соответствующих гранях.

По условию задачи, XA — это высота треугольника XYZ, проведенная к стороне YZ. Из определения высоты следует, что $XA \perp YZ$. Кроме того, луч AX, как часть высоты, лежит в плоскости треугольника XYZ, которая является одной из граней двугранного угла, а точка A лежит на ребре YZ.

Теперь рассмотрим взаиморасположение прямых AP и YZ. По условию, $XP$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, то есть $XP \perp \beta$. Отрезок $XA$ является наклонной, проведенной из точки X к плоскости $\beta$. Следовательно, отрезок $AP$ является проекцией наклонной $XA$ на плоскость $\beta$. Прямая YZ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку A — основание наклонной $XA$.

Применим теорему о трех перпендикулярах, а именно обратную ей. Теорема гласит: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной на данную плоскость. Так как прямая YZ в плоскости $\beta$ перпендикулярна наклонной XA ($XA \perp YZ$), то она перпендикулярна и ее проекции AP. Таким образом, $AP \perp YZ$. Луч AP, как проекция, лежит в плоскости $\beta$, которая является второй гранью двугранного угла.

Мы установили, что лучи AX и AP исходят из одной точки A на ребре YZ, перпендикулярны этому ребру ($AX \perp YZ$ и $AP \perp YZ$) и лежат в гранях двугранного угла (AX в плоскости XYZ, AP в плоскости $\beta$). Следовательно, по определению, угол XAP является линейным углом двугранного угла XYZP, что и требовалось доказать.

Ответ: Угол XAP является линейным углом двугранного угла XYZP. Это следует из того, что его стороны AX и AP удовлетворяют определению линейного угла: они исходят из одной точки A на ребре YZ, лежат в разных гранях (плоскости XYZ и $\beta$ соответственно) и обе перпендикулярны ребру YZ. Перпендикулярность $AX \perp YZ$ дана по условию (XA — высота), а перпендикулярность $AP \perp YZ$ доказывается с помощью теоремы о трех перпендикулярах.