Номер 14, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

14. Учитывая, что $STUVS_1T_1U_1V_1$ — куб (рис. 318), определите:

а) является ли угол $TVT_1$ линейным углом двугранного угла $T_1SVT$;

б) является ли угол $T_1ST$ линейным углом двугранного угла $T_1SVT$;

в) величину двугранного угла $V_1UTS$.

Рис. 318

В данной задаче мы будем исходить из того, что STUVS₁T₁U₁V₁ — это обозначение вершин куба, где STUV — вершины нижнего основания (например, в порядке обхода по часовой или против часовой стрелки), а S₁, T₁, U₁, V₁ — соответствующие им вершины верхнего основания. Таким образом, SS₁, TT₁, UU₁, VV₁ — боковые ребра куба. Точка T, отмеченная в центре нижнего основания на рисунке 318, является либо опечаткой, либо не имеет отношения к условию задачи, так как в вопросах используются только вершины куба.

Пусть ребро куба равно a. Примем, что STUV — это вершины нижнего основания, расположенные в порядке обхода против часовой стрелки. Тогда ребра ST и SV перпендикулярны, ∠TSV = 90°.

а) является ли угол TVT₁ линейным углом двугранного угла T₁SVT;

Двугранный угол T₁SVT образован плоскостями (T₁SV) и (TSV). Ребром этого двугранного угла является прямая SV. Плоскость (TSV) является плоскостью нижнего основания (STUV).

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре двугранного угла, лежат в его гранях и перпендикулярны ребру.

Угол ∠TVT₁ имеет вершину в точке V, которая лежит на ребре SV. Его стороны — лучи VT и VT₁. Луч VT лежит в плоскости нижнего основания (TSV). Для того чтобы угол ∠TVT₁ был линейным углом, необходимо, чтобы луч VT был перпендикулярен ребру SV.

В квадрате STUV отрезок SV является стороной, а отрезок VT — диагональю. Угол между стороной и диагональю квадрата, выходящими из одной вершины, равен $45^\circ$. То есть, $∠SVT = 45^\circ$.

Поскольку $VT$ не перпендикулярно $SV$, угол $∠TVT₁$ не является линейным углом данного двугранного угла.

Ответ: нет.

б) является ли угол T₁ST линейным углом двугранного угла T₁SVT;

Рассмотрим тот же двугранный угол T₁SVT с ребром SV. Кандидатом на линейный угол является угол ∠T₁ST. Его вершина S лежит на ребре SV.

Стороны угла — лучи ST и ST₁. Луч ST лежит в плоскости нижнего основания (TSV). В квадрате STUV стороны ST и SV, выходящие из вершины S, перпендикулярны. Следовательно, $ST \perp SV$.

Луч ST₁ лежит в плоскости (T₁SV). Проверим, перпендикулярен ли он ребру SV. Ребро SV перпендикулярно всей грани SS₁T₁T, так как SV перпендикулярно ST (как смежные стороны квадрата) и SV перпендикулярно SS₁ (так как SS₁ — боковое ребро, перпендикулярное основанию). Поскольку прямая SV перпендикулярна плоскости (SS₁T₁T), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой ST₁.

Таким образом, оба луча ST и ST₁ перпендикулярны ребру SV в точке S. Следовательно, угол ∠T₁ST является линейным углом двугранного угла T₁SVT.

Ответ: да.

в) величину двугранного угла V₁UTS.

Двугранный угол V₁UTS образован плоскостями (V₁UT) и (SUT). Ребром этого двугранного угла является прямая UT.

Плоскость (SUT) является плоскостью нижнего основания (STUV). Чтобы найти величину двугранного угла, найдём его линейный угол. Для этого построим в каждой из плоскостей перпендикуляр к ребру UT из одной и той же точки.

Выберем на ребре UT точку U.
1. В плоскости нижнего основания (SUT) проведём перпендикуляр к UT. В квадрате STUV стороны UV и UT перпендикулярны. Значит, $UV \perp UT$.
2. В плоскости (V₁UT) нам нужен перпендикуляр к UT из точки U. Рассмотрим треугольник V₁UT. Его стороны:

• $UT = a$ (ребро куба).
• $UV₁$ — диагональ боковой грани UVV₁U₁, её длина равна $a\sqrt{2}$.
• $TV₁$ — диагональ, соединяющая вершины T и V₁. Длина отрезка $TV_1$ вычисляется как $TV_1 = \sqrt{TU^2 + UV^2 + VV_1^2} = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\sqrt{3}$. Это пространственная диагональ куба.

Проверим, является ли треугольник V₁UT прямоугольным. По теореме, обратной теореме Пифагора: $TV_1^2 = (a\sqrt{3})^2 = 3a^2$ и $UT^2 + UV_1^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$.
Так как $TV_1^2 = UT^2 + UV_1^2$, треугольник V₁UT является прямоугольным с прямым углом при вершине U. Следовательно, $UV₁ \perp UT$.

Мы нашли две прямые, UV и UV₁, перпендикулярные общему ребру UT в точке U. Значит, угол ∠VUV₁ является линейным углом двугранного угла V₁UTS.

Найдём величину угла ∠VUV₁. Рассмотрим прямоугольный треугольник VUV₁ (угол ∠V₁VU=90°, так как ребро VV₁ перпендикулярно основанию). Катеты этого треугольника равны: $UV = a$ и $VV₁ = a$. Треугольник VUV₁ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны $45^\circ$.
Следовательно, $∠VUV₁ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.