Номер 7, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Сформулируйте свойство плоскости, перпендикулярной линии пересечения двух плоскостей.

Данное свойство является теоремой в стереометрии и может быть сформулировано и доказано следующим образом.

Формулировка свойства:

Если некоторая плоскость перпендикулярна линии пересечения двух других плоскостей, то она перпендикулярна и каждой из этих плоскостей.

Доказательство и объяснение:

Пусть у нас есть две плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $c$. Это можно записать как $c = \alpha \cap \beta$.
Пусть также есть третья плоскость $\gamma$, которая по условию перпендикулярна прямой $c$. Это означает, что $c \perp \gamma$.
Нам необходимо доказать, что плоскость $\gamma$ перпендикулярна как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$, то есть $\gamma \perp \alpha$ и $\gamma \perp \beta$.

Для доказательства мы будем использовать признак перпендикулярности двух плоскостей, который гласит:
Если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

1. Докажем, что $\gamma \perp \alpha$.

По определению линии пересечения, прямая $c$ принадлежит плоскости $\alpha$ ( $c \subset \alpha$ ).
По условию задачи, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ( $c \perp \gamma$ ).
Таким образом, мы имеем плоскость $\alpha$, которая проходит через прямую $c$, перпендикулярную плоскости $\gamma$.
Согласно признаку перпендикулярности плоскостей, из этого следует, что $\alpha \perp \gamma$, что эквивалентно $\gamma \perp \alpha$.

2. Докажем, что $\gamma \perp \beta$.

Доказательство аналогично предыдущему пункту.
Прямая $c$ также принадлежит плоскости $\beta$ ( $c \subset \beta$ ).
По условию, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ( $c \perp \gamma$ ).
Следовательно, плоскость $\beta$ проходит через прямую $c$, перпендикулярную плоскости $\gamma$.
По признаку перпендикулярности плоскостей, это означает, что $\beta \perp \gamma$, что эквивалентно $\gamma \perp \beta$.

Таким образом, свойство полностью доказано.

Ответ: Если плоскость перпендикулярна линии пересечения двух других плоскостей, то она перпендикулярна и каждой из этих плоскостей.