Номер 6, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

Признак перпендикулярности плоскостей — это теорема, которая позволяет установить перпендикулярность двух плоскостей на основе их связи с некоторой прямой.

Формулировка признака перпендикулярности плоскостей

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Более строго, это можно записать так:

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. Если существует прямая $a$ такая, что $a \subset \alpha$ и $a \perp \beta$, то $\alpha \perp \beta$.

Доказательство

Пусть плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, перпендикулярную плоскости $\beta$. Докажем, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны.

1. Так как прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$, она пересекает ее в некоторой точке $M$. Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то и плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $\beta$. Обозначим линию их пересечения буквой $c$. Точка $M$ принадлежит и прямой $a$, и плоскости $\beta$, следовательно, она лежит на линии их пересечения $c$ ($M \in c$).

2. Угол между плоскостями по определению равен линейному углу соответствующего двугранного угла. Для его нахождения нужно построить две прямые, перпендикулярные линии пересечения плоскостей $c$ и проходящие через одну точку на ней, причем одна прямая должна лежать в плоскости $\alpha$, а другая — в плоскости $\beta$.

3. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. По условию $a \perp \beta$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через точку $M$. Прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $M$, следовательно, $a \perp c$.

4. Проведем в плоскости $\beta$ через точку $M$ прямую $b$, перпендикулярную линии пересечения $c$ ($b \perp c$).

5. Таким образом, мы построили линейный угол двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Этот угол равен углу между прямыми $a$ и $b$.

6. Мы знаем, что $a \perp \beta$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Следовательно, по определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$).

7. Угол между прямыми $a$ и $b$ равен $90^\circ$. Это означает, что угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ также равен $90^\circ$.

8. По определению, если угол между двумя плоскостями равен $90^\circ$, то плоскости называются перпендикулярными. Следовательно, $\alpha \perp \beta$. Теорема доказана.

Ответ: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.