пространственное моделирование, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

Пространственное моделирование

Определим, как при движении на эскалаторе можно оценить глубину расположения станции метро, длину эскалатора (рис. 289).

Обратим внимание на то, что при спуске или подъёме на эскалаторе мы проезжаем вдоль ряда ламп, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Нормативами задаётся освещённость тоннеля, исходя из которой устанавливается и расстояние между соседними лампами. Также учтём, что оптимальный угол наклона линии эскалатора к плоскости земли равен $30^\circ$.

Будем рассматривать эскалатор как наклонную к плоскости земли. Тогда глубину расположения станции можно интерпретировать как длину перпендикуляра к плоскости земли.

Для ответа на вопрос достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник $ABC$, в котором гипотенуза $AB$ представляет эскалатор, а катет $BC$ — глубину расположения той станции метро, на которую ведёт данный эскалатор.

a) Подсчитайте длину эскалатора, учитывая, что расстояние между лампами равно $a$.

б) Составьте формулу для нахождения глубины закладки станции метро.

Рис. 289

а) Для того чтобы рассчитать длину эскалатора, необходимо определить количество промежутков между лампами. На рисунке изображено 13 ламп. Количество промежутков между ними будет на единицу меньше, чем количество ламп, то есть $13 - 1 = 12$ промежутков. Поскольку по условию расстояние между соседними лампами равно $a$, общая длина эскалатора, которая в рассматриваемой модели соответствует гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, равна произведению количества промежутков на расстояние между лампами.
Длина эскалатора $AB = 12 \cdot a = 12a$.
Ответ: Длина эскалатора равна $12a$.

б) Глубина закладки станции метро в данной модели соответствует длине катета $BC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. Длина эскалатора является гипотенузой $AB$, а угол наклона эскалатора к плоскости земли (угол $BAC$) равен $30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла. Таким образом, формула для нахождения глубины станции ($h = BC$) выглядит так:
$h = AB \cdot \sin(\angle BAC)$
Подставляя значения, найденные в пункте а) и данные в условии задачи, получаем:
$h = 12a \cdot \sin(30^\circ)$
Так как значение синуса 30 градусов является табличной величиной, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то формула для глубины станции принимает окончательный вид:
$h = 12a \cdot \frac{1}{2} = 6a$.
Ответ: Формула для нахождения глубины закладки станции метро: $h = 6a$.