Номер 306, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

306*. Есть треугольная пирамида, все рёбра которой равны друг другу. Найдите угол между ребром пирамиды и гранью, которой оно не принадлежит.

Треугольная пирамида, все рёбра которой равны друг другу, является правильным тетраэдром. Пусть дан правильный тетраэдр $SABC$, все рёбра которого равны некоторой длине $a$. Это означает, что все его грани — $\triangle SAB$, $\triangle SBC$, $\triangle SCA$ и $\triangle ABC$ — являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Найдём угол между ребром, например $SA$, и гранью $ABC$, которой это ребро не принадлежит. По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдём проекцию ребра $SA$ на плоскость основания $ABC$. Проекцией точки $A$, лежащей в плоскости $ABC$, является сама точка $A$. Поскольку тетраэдр правильный, его вершина $S$ проецируется в центр основания $\triangle ABC$. Обозначим этот центр как точку $O$. Точка $O$ является центром описанной и вписанной окружностей для треугольника $ABC$, а также точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис. Таким образом, проекцией ребра $SA$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AO$.

Искомый угол, который мы обозначим $\alpha$, — это угол между ребром $SA$ и его проекцией $AO$, то есть $\angle SAO$.

Для нахождения этого угла рассмотрим треугольник $\triangle SOA$. Отрезок $SO$ является высотой тетраэдра, опущенной на основание $ABC$, поэтому $SO$ перпендикулярен плоскости $ABC$ и любой прямой в этой плоскости. В частности, $SO \perp AO$. Следовательно, треугольник $\triangle SOA$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $O$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ гипотенуза $SA$ — это ребро тетраэдра, её длина равна $a$. Катет $AO$ — это радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$. Косинус искомого угла $\alpha$ находится как отношение прилежащего катета к гипотенузе: $ \cos(\alpha) = \frac{AO}{SA} $.

Сначала вычислим длину катета $AO$. В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a$ высота (она же и медиана), проведённая из любой вершины, равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Центр $O$ делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, радиус описанной окружности $AO$ составляет $2/3$ от длины высоты: $ AO = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}} $.

Теперь мы можем найти косинус угла $\alpha$: $ \cos(\alpha) = \frac{AO}{SA} = \frac{a/\sqrt{3}}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Отсюда следует, что искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения: $ \alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $.

Ответ: $ \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $