Номер 300, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

300. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны $a$. Найдите угол между прямой $AB$ (рис. 287) и прямой:

а) $FF_1$;

б) $CD$;

в) $DE$;

г) $A_1B_1$;

д) $B_1E_1$;

е) $A_1C_1$.

Рис. 287

В правильной шестиугольной призме `ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1` все ребра равны `a`. Основания призмы - правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

а) FF₁

Прямая `AB` лежит в плоскости нижнего основания `(ABC)`. Боковое ребро `FF_1` перпендикулярно плоскости основания `(ABC)`, так как призма правильная. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая `FF_1` перпендикулярна прямой `AB`. Угол между ними равен `90^\circ`.

Ответ: $90^\circ$

б) CD

Угол между скрещивающимися прямыми `AB` и `CD` равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным. В правильном шестиугольнике `ABCDEF` сторона `CD` параллельна стороне `AF`. Поэтому искомый угол равен углу между сторонами `AB` и `AF`. Эти стороны образуют внутренний угол `\angle FAB` правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле: `\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}`. Для шестиугольника (`n=6`) угол равен `\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ`. Углом между прямыми принято считать наименьший из смежных углов, поэтому искомый угол равен `180^\circ - 120^\circ = 60^\circ`.

Ответ: $60^\circ$

в) DE

В правильном шестиугольнике `ABCDEF` противолежащие стороны `AB` и `DE` параллельны. Следовательно, угол между прямыми `AB` и `DE` равен `0^\circ`.

Ответ: $0^\circ$

г) A₁B₁

Поскольку `ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1` - призма, ее основания `ABCDEF` и `A_1B_1C_1D_1E_1F_1` параллельны. Отрезок `A_1B_1` является результатом параллельного переноса отрезка `AB`. Следовательно, прямая `A_1B_1` параллельна прямой `AB`. Угол между ними равен `0^\circ`.

Ответ: $0^\circ$

д) B₁E₁

Угол между скрещивающимися прямыми `AB` и `B_1E_1` равен углу между прямыми `AB` и `BE`, так как прямая `B_1E_1` параллельна прямой `BE`. Найдем угол `\angle ABE` в правильном шестиугольнике `ABCDEF`. Пусть сторона шестиугольника равна `a`. Тогда `AB = a`. Диагональ `BE` является большой диагональю шестиугольника, ее длина `BE = 2a`. Диагональ `AE` — малая диагональ, ее длина `AE = a\sqrt{3}`. Рассмотрим треугольник `ABE`. Его стороны: `AB = a`, `BE = 2a`, `AE = a\sqrt{3}`. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора: `AB^2 + AE^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2` и `BE^2 = (2a)^2 = 4a^2`. Так как `AB^2 + AE^2 = BE^2`, треугольник `ABE` является прямоугольным с прямым углом при вершине `A`. Тогда косинус угла `\angle ABE` равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: `\cos(\angle ABE) = \frac{AB}{BE} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}`. Отсюда `\angle ABE = 60^\circ`.

Ответ: $60^\circ$

е) A₁C₁

Угол между скрещивающимися прямыми `AB` и `A_1C_1` равен углу между пересекающимися прямыми `AB` и `AC`, так как `A_1C_1 \parallel AC`. Этот угол есть `\angle BAC` в основании призмы. Рассмотрим треугольник `ABC`. В нем `AB = BC = a` (стороны правильного шестиугольника), а `\angle ABC = 120^\circ` (внутренний угол правильного шестиугольника). Треугольник `ABC` — равнобедренный, поэтому углы при основании `AC` равны: `\angle BAC = \angle BCA`. Сумма углов треугольника равна `180^\circ`, следовательно, `\angle BAC = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ`.

Ответ: $30^\circ$