Номер 298, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

298. Точка $P$ отстоит на $a$ от каждой вершины квадрата $ABCD$ со стороной $a$. Найдите угол, который образует с плоскостью квадрата прямая $AP$.

Пусть O — центр квадрата ABCD (точка пересечения диагоналей). Поскольку точка P равноудалена от всех вершин квадрата ($PA = PB = PC = PD = a$), ее проекцией на плоскость квадрата является центр этого квадрата, точка O. Это означает, что отрезок PO перпендикулярен плоскости квадрата ABCD.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Проекцией наклонной AP на плоскость квадрата является отрезок AO. Следовательно, искомый угол — это угол α = ∠PAO.

Рассмотрим треугольник ▵PAO. Так как PO перпендикулярно плоскости (ABC), то PO перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и AO. Значит, треугольник ▵PAO является прямоугольным с прямым углом при вершине O.

В этом треугольнике нам известна длина гипотенузы $PA = a$ (по условию). Найдем длину катета AO. AO — это половина диагонали AC квадрата со стороной $a$.

Найдем длину диагонали AC по теореме Пифагора из ▵ABC: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, то: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь в прямоугольном треугольнике ▵PAO мы можем найти косинус искомого угла α: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AO}{PA} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение угла α, для которого $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равно $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.