Номер 293, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

293. Докажите, что если в правильной треугольной пирамиде сторона основания равна расстоянию от вершины до плоскости основания, то боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$.

Пусть дана правильная треугольная пирамида, в которой $S$ - вершина, а $ABC$ - основание. Так как пирамида правильная, то её основание - равносторонний треугольник $ABC$, а вершина $S$ проецируется в центр этого треугольника, точку $O$.

Обозначим сторону основания за $a$, то есть $AB = BC = CA = a$. Расстояние от вершины до плоскости основания - это высота пирамиды $H$, которая равна длине перпендикуляра $SO$. По условию задачи, сторона основания равна этому расстоянию, следовательно, $H = SO = a$.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания - это угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания. Возьмем для примера боковое ребро $SA$. Его проекцией на плоскость $(ABC)$ является отрезок $OA$. Следовательно, нам нужно доказать, что угол $\angle SAO$ равен $60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAO$. Он является прямоугольным, так как $SO$ - высота пирамиды, и, следовательно, $SO \perp (ABC)$, а значит $SO \perp OA$. В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла $\angle SAO$ равен отношению противолежащего катета $SO$ к прилежащему катету $OA$: $ \tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA} $

Длина катета $SO$ нам известна по условию: $SO = a$. Длину катета $OA$ найдем из свойств равностороннего треугольника. Точка $O$ - центр равностороннего треугольника $ABC$, поэтому $OA$ - это радиус $R$ описанной около него окружности. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле: $ R = \frac{a\sqrt{3}}{3} $, что то же самое, что и $ R = \frac{a}{\sqrt{3}} $. Таким образом, $OA = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для тангенса угла: $ \tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA} = \frac{a}{a/\sqrt{3}} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} $

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle SAO = 60^\circ$. Поскольку пирамида является правильной, все её боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Таким образом, доказано, что боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.