Номер 288, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

288*. Из вершины $M$ треугольника $MNK$ вне его плоскости проведена прямая $ML$, образующая со сторонами $MN$ и $MK$ равные острые углы. Определите, на какие части проекция прямой $ML$ на плоскость треугольника разделяет сторону $NK$, учитывая, что $MN = 51$ м, $MK = 34$ м и $NK = 30$ м.

Пусть $MH$ — проекция прямой $ML$ на плоскость треугольника $MNK$, где $H$ — проекция точки $L$ на эту плоскость. По условию, прямая $ML$ образует со сторонами $MN$ и $MK$ равные острые углы. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Угол между двумя прямыми (в данном случае $ML$ и $MN$, а также $ML$ и $MK$) определяется через скалярное произведение векторов, направляющих эти прямые. Пусть начало координат находится в точке $M$.

Косинус угла между векторами $\vec{ML}$ и $\vec{MN}$ равен:$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{ML} \cdot \vec{MN}}{|\vec{ML}| \cdot |\vec{MN}|} $

Косинус угла между векторами $\vec{ML}$ и $\vec{MK}$ равен:$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{ML} \cdot \vec{MK}}{|\vec{ML}| \cdot |\vec{MK}|} $

Поскольку углы равны, мы можем приравнять эти выражения:$ \frac{\vec{ML} \cdot \vec{MN}}{|\vec{ML}| \cdot |\vec{MN}|} = \frac{\vec{ML} \cdot \vec{MK}}{|\vec{ML}| \cdot |\vec{MK}|} $

Умножив обе части на $|\vec{ML}|$, получим:$ \frac{\vec{ML} \cdot \vec{MN}}{|\vec{MN}|} = \frac{\vec{ML} \cdot \vec{MK}}{|\vec{MK}|} $

Это равенство можно переписать как $\vec{ML} \cdot \left( \frac{\vec{MN}}{|\vec{MN}|} - \frac{\vec{MK}}{|\vec{MK}|} \right) = 0$. Векторы $\vec{e_1} = \frac{\vec{MN}}{|\vec{MN}|}$ и $\vec{e_2} = \frac{\vec{MK}}{|\vec{MK}|}$ являются единичными векторами, сонаправленными со сторонами $MN$ и $MK$. Вектор $\vec{b} = \vec{e_1} + \vec{e_2}$ направлен по биссектрисе угла $\angle NMK$. Вектор $\vec{d} = \vec{e_1} - \vec{e_2}$ перпендикулярен вектору $\vec{b}$ и, следовательно, перпендикулярен биссектрисе угла $\angle NMK$. Наше условие $\vec{ML} \cdot (\vec{e_1} - \vec{e_2}) = 0$ означает, что вектор $\vec{ML}$ перпендикулярен вектору $\vec{d}$.

Проекция прямой $ML$ на плоскость $MNK$ — это прямая $MH$. Вектор $\vec{MH}$ является проекцией вектора $\vec{ML}$ на эту плоскость. Мы знаем, что $\vec{ML} = \vec{MH} + \vec{HL}$, где вектор $\vec{HL}$ перпендикулярен плоскости $MNK$. Так как вектор $\vec{d} = \vec{e_1} - \vec{e_2}$ лежит в плоскости $MNK$, то $\vec{HL} \perp \vec{d}$, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{HL} \cdot \vec{d} = 0$. Тогда:$ \vec{ML} \cdot \vec{d} = (\vec{MH} + \vec{HL}) \cdot \vec{d} = \vec{MH} \cdot \vec{d} + \vec{HL} \cdot \vec{d} = \vec{MH} \cdot \vec{d} + 0 = 0 $Следовательно, $\vec{MH} \cdot \vec{d} = 0$. Это означает, что вектор $\vec{MH}$ перпендикулярен вектору $\vec{d}$, а значит, он коллинеарен биссектрисе угла $\angle NMK$.

Таким образом, проекция прямой $ML$ на плоскость треугольника является биссектрисой угла $\angle NMK$.

Пусть эта проекция (биссектриса) пересекает сторону $NK$ в точке $P$. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$ \frac{NP}{PK} = \frac{MN}{MK} $

Подставим известные значения длин сторон: $MN = 51$ м, $MK = 34$ м.$ \frac{NP}{PK} = \frac{51}{34} = \frac{3 \cdot 17}{2 \cdot 17} = \frac{3}{2} $

Отсюда следует, что $NP = \frac{3}{2} PK$. Также мы знаем, что точка $P$ лежит на стороне $NK$, поэтому $NP + PK = NK = 30$ м.

Решим систему уравнений:$ \begin{cases} NP = \frac{3}{2} PK \\ NP + PK = 30 \end{cases} $

Подставим первое уравнение во второе:$ \frac{3}{2} PK + PK = 30 $$ \frac{5}{2} PK = 30 $$ PK = 30 \cdot \frac{2}{5} $$ PK = 12 \text{ м} $

Теперь найдем $NP$:$ NP = 30 - PK = 30 - 12 = 18 \text{ м} $

Проекция прямой $ML$ на плоскость треугольника разделяет сторону $NK$ на отрезки длиной 18 м и 12 м.

Ответ: на отрезки 18 м и 12 м.