Номер 281, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

281. Учитывая, что точка $K$ лежит на прямой, проходящей через центр $O$ симметрии ромба $ABCD$ перпендикулярно его плоскости:

а) докажите равенство расстояний от точки $K$ до всех прямых, которым принадлежат стороны ромба;

б) найдите это расстояние, учитывая, что $OK = 45$ дм, $AC = 60$ дм, $BD = 80$ дм;

*в) найдите это расстояние, учитывая, что $AC = 2a$, $BD = 2b$, $KO = h$.

a)

Пусть дан ромб $ABCD$, $O$ — точка пересечения его диагоналей, которая является центром симметрии ромба. По условию, точка $K$ лежит на прямой, проходящей через точку $O$ перпендикулярно плоскости ромба. Это означает, что отрезок $KO$ перпендикулярен плоскости $(ABCD)$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Нам нужно доказать, что расстояния от точки $K$ до прямых $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ равны.

1. Сначала докажем, что точка $O$ равноудалена от всех сторон ромба. Расстояние от точки $O$ до стороны, например $AB$, — это длина высоты $OM_1$, проведенной в треугольнике $\triangle AOB$ к стороне $AB$. Аналогично, расстояния до сторон $BC$, $CD$, $DA$ — это высоты $OM_2$, $OM_3$, $OM_4$ в треугольниках $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$ соответственно. Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам и все стороны ромба равны ($AB=BC=CD=DA$), то треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$ равны по трем сторонам. Следовательно, равны и их высоты, проведенные к соответствующим сторонам: $OM_1 = OM_2 = OM_3 = OM_4$. Обозначим это расстояние как $r_O$.

2. Теперь рассмотрим расстояние от точки $K$ до стороны $AB$. Опустим перпендикуляр из точки $O$ на прямую $AB$, его основание — точка $M_1$. Таким образом, $OM_1 \perp AB$. Отрезок $KM_1$ является наклонной к плоскости ромба, а $OM_1$ — ее проекцией на эту плоскость.

3. По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной на плоскость ($OM_1$) перпендикулярна некоторой прямой в этой плоскости ($AB$), то и сама наклонная ($KM_1$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $KM_1 \perp AB$. Это означает, что длина отрезка $KM_1$ и есть расстояние от точки $K$ до прямой $AB$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KOM_1$. Он прямоугольный, так как $KO \perp (ABCD)$, а значит, $KO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе $OM_1$. По теореме Пифагора:

$KM_1^2 = KO^2 + OM_1^2$

5. Аналогично, расстояния от точки $K$ до других сторон ромба будут равны $KM_2$, $KM_3$, $KM_4$, и для них выполняются соотношения:

$KM_2^2 = KO^2 + OM_2^2$

$KM_3^2 = KO^2 + OM_3^2$

$KM_4^2 = KO^2 + OM_4^2$

6. Так как мы ранее доказали, что $OM_1 = OM_2 = OM_3 = OM_4$, а длина $KO$ является постоянной, то и длины наклонных $KM_1, KM_2, KM_3, KM_4$ равны между собой.

Таким образом, доказано, что расстояния от точки $K$ до всех прямых, которым принадлежат стороны ромба, равны.

Ответ: Равенство расстояний доказано.

б)

По условию дано: $OK = 45$ дм, диагональ $AC = 60$ дм, диагональ $BD = 80$ дм. Требуется найти расстояние от точки $K$ до сторон ромба.

Из пункта (а) мы знаем, что это расстояние равно длине отрезка $KM_1$, где $KM_1 = \sqrt{KO^2 + OM_1^2}$.

1. Найдем $OM_1$ — расстояние от центра ромба $O$ до стороны $AB$. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и взаимно перпендикулярны. Поэтому:

$AO = \frac{AC}{2} = \frac{60}{2} = 30$ дм

$BO = \frac{BD}{2} = \frac{80}{2} = 40$ дм

Треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным с катетами $AO$ и $BO$.

2. Найдем длину стороны ромба $AB$, которая является гипотенузой в $\triangle AOB$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$

$AB = \sqrt{2500} = 50$ дм

3. Отрезок $OM_1$ — это высота прямоугольного треугольника $\triangle AOB$, проведенная к гипотенузе $AB$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ дм$^2$

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OM_1 = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot OM_1$

Приравнивая выражения для площади, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot OM_1 = 600$

$25 \cdot OM_1 = 600$

$OM_1 = \frac{600}{25} = 24$ дм

4. Теперь можем найти искомое расстояние $KM_1$:

$KM_1 = \sqrt{OK^2 + OM_1^2} = \sqrt{45^2 + 24^2} = \sqrt{2025 + 576} = \sqrt{2601} = 51$ дм

Ответ: 51 дм.

*в)

По условию дано: $AC = 2a$, $BD = 2b$, $KO = h$. Требуется найти расстояние от точки $K$ до сторон ромба в общем виде.

Действуем аналогично пункту (б), используя буквенные обозначения.

1. Находим половины диагоналей:

$AO = \frac{AC}{2} = \frac{2a}{2} = a$

$BO = \frac{BD}{2} = \frac{2b}{2} = b$

2. Находим сторону ромба $AB$ из прямоугольного треугольника $\triangle AOB$:

$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

3. Находим расстояние $OM_1$ от центра ромба до стороны. Из формулы для площади $\triangle AOB$:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} ab$

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OM_1 = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} \cdot OM_1$

Приравнивая выражения, получаем:

$\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} \cdot OM_1$

$OM_1 = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

4. Находим искомое расстояние $d = KM_1$ по теореме Пифагора для $\triangle KOM_1$:

$d^2 = KO^2 + OM_1^2 = h^2 + \left(\frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$d^2 = \frac{h^2(a^2 + b^2) + a^2b^2}{a^2 + b^2}$

$d = \sqrt{\frac{h^2(a^2 + b^2) + a^2b^2}{a^2 + b^2}}$

Ответ: $\sqrt{h^2 + \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}}$ или $\sqrt{\frac{h^2(a^2+b^2)+a^2b^2}{a^2+b^2}}$.