Номер 9, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Дан прямоугольный параллелепипед $KLMNK_1L_1M_1N_1$ (рис. 278). Назовите угол между прямой:

а) $KL$ и плоскостью $NN_1M$;

б) $KM_1$ и плоскостью $KL_1L$;

в) $KL$ и плоскостью $LL_1M_1$;

г) $KM_1$ и плоскостью $LMN$;

д) $KL_1$ и плоскостью $KLM$;

е) $KM_1$ и плоскостью $LMM_1$.

Рис. 278

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Данная фигура $KLMNK_1L_1M_1N_1$ — прямоугольный параллелепипед. Это означает, что все его грани — прямоугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

а) $KL$ и плоскостью $NN_1M$

Плоскость $NN_1M$ — это плоскость боковой грани $MNN_1M_1$. В прямоугольном параллелепипеде противоположные грани параллельны, значит, грань $KLL_1K_1$ параллельна грани $MNN_1M_1$. Прямая $KL$ лежит в плоскости грани $KLL_1K_1$.
Также можно рассуждать иначе: ребро $KL$ параллельно ребру $MN$ (так как $KLMN$ — прямоугольник). Ребро $MN$ лежит в плоскости $NN_1M$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($KL$) параллельна некоторой прямой ($MN$), лежащей в плоскости ($NN_1M$), то эта прямая параллельна самой плоскости.
Угол между прямой и параллельной ей плоскостью равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$

б) $KM_1$ и плоскостью $KL_1L$

Плоскость $KL_1L$ — это плоскость передней грани $KLL_1K_1$. Прямая $KM_1$ пересекает эту плоскость в точке $K$.
Найдем проекцию прямой $KM_1$ на плоскость $KLL_1K_1$. Для этого нужно опустить перпендикуляр из точки $M_1$ на эту плоскость. Поскольку параллелепипед прямоугольный, ребро $L_1M_1$ перпендикулярно грани $KLL_1K_1$. Следовательно, точка $L_1$ является проекцией точки $M_1$ на плоскость $KLL_1K_1$.
Тогда прямая $KL_1$ является проекцией прямой $KM_1$ на плоскость $KLL_1K_1$.
Искомый угол — это угол между наклонной $KM_1$ и ее проекцией $KL_1$, то есть $\angle M_1KL_1$.

Ответ: $\angle M_1KL_1$

в) $KL$ и плоскостью $LL_1M_1$

Плоскость $LL_1M_1$ — это плоскость боковой грани $LMM_1L_1$.
Так как $KLMNK_1L_1M_1N_1$ — прямоугольный параллелепипед, его основание $KLMN$ — прямоугольник, поэтому ребро $KL$ перпендикулярно ребру $LM$ ($KL \perp LM$).
Боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, поэтому ребро $LL_1$ перпендикулярно плоскости $KLMN$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $KL$ ($LL_1 \perp KL$).
Поскольку прямая $KL$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($LM$ и $LL_1$) в плоскости $LMM_1L_1$, она перпендикулярна и самой плоскости.
Угол между прямой и перпендикулярной ей плоскостью равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

г) $KM_1$ и плоскостью $LMN$

Плоскость $LMN$ — это плоскость нижнего основания $KLMN$. Прямая $KM_1$ пересекает эту плоскость в точке $K$.
Найдем проекцию прямой $KM_1$ на плоскость $KLMN$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $M_1$ на эту плоскость. Боковое ребро $M_1M$ перпендикулярно плоскости основания $KLMN$. Значит, точка $M$ является проекцией точки $M_1$ на плоскость $KLMN$.
Прямая $KM$ является проекцией наклонной $KM_1$ на плоскость $KLMN$.
Искомый угол — это угол между наклонной $KM_1$ и ее проекцией $KM$, то есть $\angle M_1KM$.

Ответ: $\angle M_1KM$

д) $KL_1$ и плоскостью $KLM$

Плоскость $KLM$ — это плоскость нижнего основания $KLMN$. Прямая $KL_1$ (диагональ передней грани) пересекает эту плоскость в точке $K$.
Найдем проекцию прямой $KL_1$ на плоскость $KLMN$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $L_1$ на эту плоскость. Боковое ребро $L_1L$ перпендикулярно плоскости основания $KLMN$. Следовательно, точка $L$ является проекцией точки $L_1$ на плоскость $KLMN$.
Прямая $KL$ является проекцией наклонной $KL_1$ на плоскость $KLMN$.
Искомый угол — это угол между наклонной $KL_1$ и ее проекцией $KL$, то есть $\angle L_1KL$.

Ответ: $\angle L_1KL$

е) $KM_1$ и плоскостью $LMM_1$

Плоскость $LMM_1$ — это плоскость боковой грани $LMM_1L_1$. Прямая $KM_1$ пересекает эту плоскость в точке $M_1$.
Найдем проекцию прямой $KM_1$ на плоскость $LMM_1L_1$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $K$ на эту плоскость. Как было показано в пункте в), ребро $KL$ перпендикулярно плоскости $LMM_1L_1$. Значит, точка $L$ является проекцией точки $K$ на эту плоскость.
Прямая $LM_1$ является проекцией наклонной $KM_1$ на плоскость $LMM_1L_1$.
Искомый угол — это угол между наклонной $KM_1$ и ее проекцией $LM_1$, то есть $\angle KM_1L$.

Ответ: $\angle KM_1L$