Номер 283, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

283. Есть прямоугольный треугольник $XYZ$ с гипотенузой $YZ$ и катетом $XY$, соответственно равными $13$ см и $12$ см. К плоскости треугольника из центра $Q$ вписанного в него круга возведён перпендикуляр $QG$ длиной $1,5$ см. Найдите расстояния от точки $G$ до сторон треугольника и от его вершин.

Дан прямоугольный треугольник $XYZ$. Угол $X$ — прямой, так как $YZ$ — гипотенуза.

Дано:
$YZ = 13$ см (гипотенуза)
$XY = 12$ см (катет)
$Q$ — центр вписанной окружности
$QG \perp$ плоскости $XYZ$
$QG = 1.5$ см

Найти:
1. Расстояние от точки $G$ до сторон треугольника ($XY$, $XZ$, $YZ$).
2. Расстояние от точки $G$ до вершин треугольника ($X$, $Y$, $Z$).

Решение:

1. Найдем второй катет $XZ$ по теореме Пифагора: $XY^2 + XZ^2 = YZ^2$.
$12^2 + XZ^2 = 13^2$
$144 + XZ^2 = 169$
$XZ^2 = 169 - 144 = 25$
$XZ = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем радиус $r$ вписанной в треугольник окружности. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле: $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.
$r = \frac{XY + XZ - YZ}{2} = \frac{12 + 5 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Расстояние от центра вписанной окружности $Q$ до каждой из сторон треугольника равно радиусу $r$. Обозначим точки касания на сторонах $XY$, $XZ$ и $YZ$ как $K_1$, $K_2$ и $K_3$ соответственно. Тогда $QK_1 = QK_2 = QK_3 = r = 2$ см.

Расстояние от точки G до сторон треугольника

Поскольку $QG$ перпендикулярен плоскости треугольника, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и отрезкам $QK_1, QK_2, QK_3$. Таким образом, треугольники $GQK_1$, $GQK_2$ и $GQK_3$ являются прямоугольными.

Расстояние от точки $G$ до стороны треугольника — это длина перпендикуляра, опущенного из $G$ на эту сторону. По теореме о трех перпендикулярах, так как $QG \perp$ пл. $XYZ$ и $QK_1 \perp XY$, то и наклонная $GK_1 \perp XY$. Аналогично $GK_2 \perp XZ$ и $GK_3 \perp YZ$.

Следовательно, искомые расстояния — это длины гипотенуз $GK_1, GK_2, GK_3$. Так как $QK_1 = QK_2 = QK_3 = r = 2$ см, то и расстояния от $G$ до сторон будут равны:

$GK = \sqrt{QG^2 + r^2} = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5$ см.

Ответ: расстояние от точки G до каждой из сторон треугольника равно 2,5 см.

Расстояние от точки G до вершин треугольника

Чтобы найти расстояния $GX, GY, GZ$, нужно сначала найти расстояния от центра вписанной окружности $Q$ до вершин треугольника: $QX, QY, QZ$. Треугольники $GQX, GQY, GQZ$ также являются прямоугольными (так как $QG \perp$ пл. $XYZ$).

- Найдем расстояние $QX$.
В прямоугольном треугольнике $XYZ$ (угол $X=90^\circ$), отрезки от вершины $X$ до точек касания $K_1$ и $K_2$ равны радиусу вписанной окружности: $XK_1 = XK_2 = r = 2$ см. Четырехугольник $XK_1QK_2$ является квадратом со стороной $r=2$ см. Расстояние $QX$ — это диагональ этого квадрата.
$QX = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Теперь найдем расстояние $GX$ из прямоугольного треугольника $GQX$:
$GX = \sqrt{QG^2 + QX^2} = \sqrt{1.5^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{2.25 + 8} = \sqrt{10.25} = \sqrt{\frac{41}{4}} = \frac{\sqrt{41}}{2}$ см.

- Найдем расстояние $QY$.
Отрезок от вершины $Y$ до точки касания $K_1$ равен $YK_1 = XY - XK_1 = 12 - 2 = 10$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $Q K_1 Y$ (угол $K_1=90^\circ$).
$QY = \sqrt{QK_1^2 + YK_1^2} = \sqrt{2^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104}$ см.
Теперь найдем расстояние $GY$ из прямоугольного треугольника $GQY$:
$GY = \sqrt{QG^2 + QY^2} = \sqrt{1.5^2 + (\sqrt{104})^2} = \sqrt{2.25 + 104} = \sqrt{106.25} = \sqrt{\frac{425}{4}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 17}}{2} = \frac{5\sqrt{17}}{2}$ см.

- Найдем расстояние $QZ$.
Отрезок от вершины $Z$ до точки касания $K_2$ равен $ZK_2 = XZ - XK_2 = 5 - 2 = 3$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $Q K_2 Z$ (угол $K_2=90^\circ$).
$QZ = \sqrt{QK_2^2 + ZK_2^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ см.
Теперь найдем расстояние $GZ$ из прямоугольного треугольника $GQZ$:
$GZ = \sqrt{QG^2 + QZ^2} = \sqrt{1.5^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{2.25 + 13} = \sqrt{15.25} = \sqrt{\frac{61}{4}} = \frac{\sqrt{61}}{2}$ см.

Ответ: расстояние до вершины X равно $\frac{\sqrt{41}}{2}$ см, до вершины Y — $\frac{5\sqrt{17}}{2}$ см, до вершины Z — $\frac{\sqrt{61}}{2}$ см.