Номер 279, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

279. Укажите взаимное расположение прямых a и b на рисунке:

а) 281, учитывая, что $ABCD$ — квадрат и $BF \perp ABC$;

б) 282, учитывая, что $ABCD$ — квадрат и $BG \perp ABC$;

в) 283, учитывая, что $ABCD$ — ромб и $AE \perp ABC$;

г) 284, учитывая, что $ABCD$ — квадрат и $BK \perp ABC$.

Рис. 281

Рис. 282

Рис. 283

Рис. 284

а) 281, учитывая, что $ABCD$ — квадрат и $BF \perp ABC$;

На рисунке 281 прямая $a$ — это прямая $FC$, а прямая $b$ — это прямая $CD$. Поскольку по условию прямая $BF$ перпендикулярна плоскости $ABC$ ($BF \perp ABC$), то $BF$ является перпендикуляром к плоскости. Прямая $FC$ является наклонной к плоскости $ABC$, а отрезок $BC$ — ее проекцией на эту плоскость. Прямая $CD$ (прямая $b$) лежит в плоскости $ABC$. Так как $ABCD$ — квадрат, его смежные стороны перпендикулярны, следовательно, $BC \perp CD$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BC$) перпендикулярна прямой ($CD$), лежащей в плоскости, то и сама наклонная ($FC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $FC \perp CD$, что означает, что прямые $a$ и $b$ перпендикулярны.

Ответ: прямые $a$ и $b$ перпендикулярны.

б) 282, учитывая, что $ABCD$ — квадрат и $BG \perp ABC$;

На рисунке 282 прямая $a$ — это прямая $GC$, а прямая $b$ — это прямая $AD$. Поскольку $ABCD$ — квадрат, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $AD$ (прямая $b$) не лежит в плоскости $GBC$ (так как точка $A$ не принадлежит этой плоскости). Поскольку $AD$ параллельна прямой $BC$, лежащей в плоскости $GBC$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AD$ параллельна плоскости $GBC$. Прямая $GC$ (прямая $a$) лежит в плоскости $GBC$. Так как прямая $AD$ параллельна плоскости $GBC$, а прямая $GC$ лежит в этой плоскости, то прямые $AD$ и $GC$ не пересекаются. Проверим, являются ли они параллельными. Если предположить, что $GC \parallel AD$, то из $AD \parallel BC$ следовало бы, что $GC \parallel BC$. Однако прямые $GC$ и $BC$ имеют общую точку $C$, значит, они не параллельны, а пересекаются. Поскольку прямые $a$ и $b$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся.

в) 283, учитывая, что $ABCD$ — ромб и $AE \perp ABC$;

На рисунке 283 прямая $a$ — это прямая $EO$, а прямая $b$ — это прямая $BD$. $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. По условию, $AE$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Прямая $EO$ является наклонной к плоскости $ABC$, а $AO$ — ее проекцией на эту плоскость. Прямая $BD$ (прямая $b$) лежит в плоскости $ABC$. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Поскольку $AO$ является частью диагонали $AC$, то $AO \perp BD$. По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной ($AO$) перпендикулярна прямой ($BD$), лежащей в плоскости, то и сама наклонная ($EO$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $EO \perp BD$. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны.

Ответ: прямые $a$ и $b$ перпендикулярны.

г) 284, учитывая, что $ABCD$ — квадрат и $BK \perp ABC$.

На рисунке 284 прямая $a$ — это прямая $KO$, а прямая $b$ — это прямая $AC$. $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. По условию, $BK$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Прямая $KO$ является наклонной к плоскости $ABC$, а $BO$ — ее проекцией на эту плоскость. Прямая $AC$ (прямая $b$) лежит в плоскости $ABC$. По свойству квадрата, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $BD \perp AC$. Поскольку $BO$ является частью диагонали $BD$, то $BO \perp AC$. По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной ($BO$) перпендикулярна прямой ($AC$), лежащей в плоскости, то и сама наклонная ($KO$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $KO \perp AC$. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны.

Ответ: прямые $a$ и $b$ перпендикулярны.