Номер 7, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Углы $BAC$ и $ACB$ треугольника $ABC$ соответственно равны $41^\circ$ и $49^\circ$, а отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости этого треугольника. Верно ли утверждение, что прямые $BC$ и $BD$ перпендикулярны?

Для того чтобы проверить, перпендикулярны ли прямые $BC$ и $BD$, воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

По условию задачи, отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что $AD$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $(ABC)$. Следовательно, отрезок $AB$ является проекцией наклонной $BD$ на плоскость $(ABC)$.

Теорема о трех перпендикулярах гласит, что прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ее проекции.

В нашем случае прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через точку $B$ — основание наклонной $BD$. Таким образом, утверждение, что $BC \perp BD$, будет верным, если прямая $BC$ перпендикулярна проекции $AB$. Иными словами, если угол $\angle ABC$ является прямым.

Найдем величину угла $\angle ABC$ из треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Нам даны углы $\angle BAC = 41^\circ$ и $\angle ACB = 49^\circ$.

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB)$
$\angle ABC = 180^\circ - (41^\circ + 49^\circ)$
$\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ$
$\angle ABC = 90^\circ$

Поскольку $\angle ABC = 90^\circ$, то прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AB$. Так как $AB$ является проекцией наклонной $BD$, то по теореме о трех перпендикулярах прямая $BC$ перпендикулярна и самой наклонной $BD$.

Следовательно, утверждение о перпендикулярности прямых $BC$ и $BD$ является верным.

Ответ: Да, утверждение верно.