Номер 277, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

277*. Стороны $AB$, $AC$, $BC$ треугольника $ABC$ соответственно равны 17, 8 и 15, а отрезок $BD$ перпендикулярен плоскости этого треугольника. Найдите расстояние от концов $BD$ до меньшей стороны треугольника, учитывая, что $BD = 36$. Рис. 265

Для решения задачи сначала определим меньшую сторону треугольника $ABC$ и его геометрические свойства. Даны стороны $AB = 17$, $AC = 8$ и $BC = 15$. Сравнивая их длины, заключаем, что наименьшей стороной является $AC$.

Далее проверим, является ли треугольник $ABC$ прямоугольным. Для этого воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$AC^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$AB^2 = 17^2 = 289$

Поскольку $AC^2 + BC^2 = AB^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным, где $AB$ — гипотенуза. Прямой угол находится при вершине $C$, из чего следует, что катеты $BC$ и $AC$ перпендикулярны ($BC \perp AC$).

Расстояние от конца B отрезка BD до меньшей стороны треугольника

Необходимо найти расстояние от точки $B$ до меньшей стороны, то есть до прямой, содержащей отрезок $AC$. Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Так как мы установили, что $BC \perp AC$, то отрезок $BC$ и является этим перпендикуляром. Следовательно, искомое расстояние равно длине катета $BC$.

Расстояние от точки $B$ до стороны $AC$ равно $BC = 15$.

Ответ: 15.

Расстояние от конца D отрезка BD до меньшей стороны треугольника

Необходимо найти расстояние от точки $D$ до меньшей стороны $AC$. По условию, отрезок $BD$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Это значит, что $BD$ — перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $(ABC)$. Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $D$ на $AC$.

Рассмотрим отрезок $DC$. Он является наклонной к плоскости $(ABC)$, а отрезок $BC$ — его проекцией на эту плоскость. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BC$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AC$), то и сама наклонная ($DC$) перпендикулярна этой прямой. Так как $BC \perp AC$, то и $DC \perp AC$.

Следовательно, искомое расстояние — это длина отрезка $DC$. Для ее вычисления рассмотрим треугольник $DBC$. Поскольку $BD \perp (ABC)$, то $BD$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$, в том числе и $BC$. Значит, $\triangle DBC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

По теореме Пифагора для $\triangle DBC$:

$DC^2 = BD^2 + BC^2$

Подставим известные значения: $BD = 36$ и $BC = 15$.

$DC^2 = 36^2 + 15^2 = 1296 + 225 = 1521$

$DC = \sqrt{1521} = 39$

Таким образом, расстояние от точки $D$ до стороны $AC$ равно 39.

Ответ: 39.