Номер 275, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

275*. В треугольной пирамиде все рёбра равны $a$. Найдите расстояние между рёбрами, не принадлежащими одной грани.

В данной задаче речь идёт о правильном тетраэдре, так как это треугольная пирамида, у которой все рёбра равны $a$. Все грани такого тетраэдра являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Рёбра, не принадлежащие одной грани, являются скрещивающимися. В тетраэдре три пары таких рёбер (например, AB и DC, BC и AD, AC и BD). В силу симметрии правильного тетраэдра расстояние между рёбрами в каждой паре будет одинаковым. Найдём расстояние между скрещивающимися рёбрами AB и DC.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Построим этот перпендикуляр.

Пусть M — середина ребра AB, а N — середина ребра DC. Докажем, что отрезок MN является общим перпендикуляром для рёбер AB и DC.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle$ADC. Он равносторонний, AN — медиана, проведённая к стороне DC. В равностороннем треугольнике медиана является также и высотой, следовательно, $AN \perp DC$. Аналогично, в равностороннем треугольнике $\triangle$BDC медиана BN также является высотой, т.е. $BN \perp DC$.

Поскольку прямая DC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AN и BN, то она перпендикулярна плоскости (ANB), в которой они лежат. Отрезок MN принадлежит плоскости (ANB), следовательно, $MN \perp DC$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle$ANB. Найдём длины его сторон. AN и BN — высоты равносторонних треугольников со стороной $a$.

$AN = BN = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Сторона AB по условию равна $a$. Таким образом, треугольник $\triangle$ANB — равнобедренный с основанием AB.

Отрезок MN соединяет вершину N с серединой M основания AB. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MN \perp AB$.

Мы доказали, что MN — общий перпендикуляр к рёбрам AB и DC. Его длина и есть искомое расстояние.

3. Вычислим длину MN. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle$AMN (угол $\angle AMN = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$MN^2 = AN^2 - AM^2$

Подставим известные значения $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $AM = \frac{a}{2}$:

$MN^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

$MN = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$