Номер 268, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

268. В плоскости $\delta$ проведены две параллельные прямые $MN$ и $KL$, отстоящие на $a$, а вне плоскости $\delta$ выбрана точка $C$, отстоящая от $MN$ на $b$ и от $KL$ на $c$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\delta$, учитывая, что $a = 66$, $b = c = 65$.

Пусть искомое расстояние от точки $C$ до плоскости $\delta$ равно $h$. Обозначим проекцию точки $C$ на плоскость $\delta$ как точку $O$. По определению, отрезок $CO$ перпендикулярен плоскости $\delta$, и его длина составляет $h$, то есть $CO = h$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Пусть $P$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $MN$. Тогда по условию длина отрезка $CP$ равна $b$, то есть $CP = b$. Аналогично, пусть $Q$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $KL$. Тогда длина отрезка $CQ$ равна $c$, то есть $CQ = c$.

Рассмотрим отрезки $CP$ и $CQ$ как наклонные к плоскости $\delta$, а отрезки $OP$ и $OQ$ как их проекции на эту плоскость. Поскольку $CO$ перпендикулярно плоскости $\delta$ ($CO \perp \delta$) и по построению $CP \perp MN$, то согласно теореме о трех перпендикулярах, проекция $OP$ также перпендикулярна прямой $MN$ ($OP \perp MN$). Аналогично, из $CO \perp \delta$ и $CQ \perp KL$ следует, что проекция $OQ$ перпендикулярна прямой $KL$ ($OQ \perp KL$).

Так как прямые $MN$ и $KL$ параллельны, а отрезки $OP$ и $OQ$ перпендикулярны этим прямым, то точки $P$, $O$ и $Q$ лежат на одной прямой. Эта прямая перпендикулярна обеим параллельным прямым $MN$ и $KL$. Длина отрезка $PQ$ представляет собой расстояние между прямыми $MN$ и $KL$, которое по условию равно $a$. Таким образом, $PQ = a$.

Треугольники $\triangle COP$ и $\triangle COQ$ являются прямоугольными, поскольку $CO \perp \delta$, а значит $CO$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$, в том числе и прямой $PQ$. Применим к этим треугольникам теорему Пифагора:
Для $\triangle COP$: $CP^2 = CO^2 + OP^2 \implies b^2 = h^2 + OP^2$.
Для $\triangle COQ$: $CQ^2 = CO^2 + OQ^2 \implies c^2 = h^2 + OQ^2$.

Из условия задачи известно, что $b = c = 65$. Следовательно, $b^2 = c^2$, и мы можем приравнять правые части уравнений:
$h^2 + OP^2 = h^2 + OQ^2$
$OP^2 = OQ^2$
Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, получаем $OP = OQ$.

Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $PQ$. Следовательно, длина отрезка $OP$ равна половине длины отрезка $PQ$:
$OP = \frac{PQ}{2} = \frac{a}{2}$.

Теперь подставим это выражение в одно из уравнений Пифагора, например, для $\triangle COP$:
$b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
Выразим из этого уравнения искомое расстояние $h$:
$h^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$
$h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

Подставим числовые значения из условия: $a = 66$ и $b = 65$.
$h = \sqrt{65^2 - \left(\frac{66}{2}\right)^2} = \sqrt{65^2 - 33^2}$
Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$h = \sqrt{(65 - 33)(65 + 33)} = \sqrt{32 \cdot 98}$
Для удобства вычисления разложим числа на множители:
$h = \sqrt{(16 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 49)} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 49} = \sqrt{64 \cdot 49}$
Извлечем квадратный корень:
$h = \sqrt{64} \cdot \sqrt{49} = 8 \cdot 7 = 56$

Ответ: $56$