Номер 265, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

265*. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все рёбра равны $a$. Найдите расстояние между прямой $BC_1$ (рис. 262) и прямой:

а) $A_1 D_1$;

б) $F_1 E_1$;

в) $A_1 F_1$;

г) $A_1 D$;

д) $F_1 E$;

е) $A_1 F$.

Рис. 262

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания правильного шестиугольника `ABCDEF` совпадает с началом координат `O(0, 0, 0)`. Ось `z` направим перпендикулярно основанию, вдоль ребра `AA_1`. Пусть вершина `A` лежит на оси `x`. Так как все ребра призмы равны `a`, то высота призмы равна `a`, и сторона основания равна `a`.

Координаты вершин призмы будут следующими:

• Нижнее основание ($z=0$):
  • `A(a, 0, 0)`
  • `B(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)`
  • `C(a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)`
  • `D(-a, 0, 0)`
  • `E(-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)`
  • `F(a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)`
• Верхнее основание ($z=a$):
  • `A_1(a, 0, a)`
  • `B_1(a/2, a\sqrt{3}/2, a)`
  • `C_1(-a/2, a\sqrt{3}/2, a)`
  • `D_1(-a, 0, a)`
  • `E_1(-a/2, -a\sqrt{3}/2, a)`
  • `F_1(a/2, -a\sqrt{3}/2, a)`

Мы ищем расстояние между прямой $BC_1$ и другими прямыми. Найдем параметры прямой $BC_1$. Она проходит через точку $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BC_1} = C_1 - B = (-a/2 - a/2, a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2, a - 0) = (-a, 0, a)$.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$, а вторая — через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

Здесь $P_1 = B$.

а) Найдем расстояние между $BC_1$ и $A_1D_1$.

Прямая $A_1D_1$ проходит через точку $P_2 = A_1(a, 0, a)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (-a - a, 0 - 0, a - a) = (-2a, 0, 0)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{BA_1} = A_1 - B = (a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/2, a - 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$.

Векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-a, 0, a) \times (-2a, 0, 0) = (0, -2a^2, 0)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-2a^2)^2 + 0^2} = 2a^2$.

Смешанное произведение: $(\vec{BA_1}, \vec{v_1}, \vec{v_2}) = \vec{BA_1} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, a) \cdot (0, -2a^2, 0) = (-a\sqrt{3}/2)(-2a^2) = a^3\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|a^3\sqrt{3}|}{2a^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Геометрическое решение: В основании призмы $AD \parallel BC$. Так как $A_1D_1 \parallel AD$, то $A_1D_1 \parallel BC$. Это значит, что прямая $A_1D_1$ параллельна плоскости боковой грани $BCC_1B_1$, в которой лежит прямая $BC_1$. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки прямой $A_1D_1$ (например, $A_1$) до плоскости $BCC_1B_1$. Плоскость $BCC_1B_1$ задается уравнением $y = a\sqrt{3}/2$. Расстояние от точки $A_1(a, 0, a)$ до этой плоскости равно $|0 - a\sqrt{3}/2| / \sqrt{1^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

б) Найдем расстояние между $BC_1$ и $F_1E_1$.

Прямая $F_1E_1$ проходит через точку $P_2 = F_1(a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{F_1E_1} = E_1 - F_1 = (-a, 0, 0)$.

Вектор $\vec{BF_1} = F_1 - B = (0, -a\sqrt{3}, a)$.

Векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-a, 0, a) \times (-a, 0, 0) = (0, -a^2, 0)$.

Модуль: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = a^2$.

Смешанное произведение: $(0, -a\sqrt{3}, a) \cdot (0, -a^2, 0) = (-a\sqrt{3})(-a^2) = a^3\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|a^3\sqrt{3}|}{a^2} = a\sqrt{3}$.

Геометрическое решение: Прямая $F_1E_1$ параллельна оси $x$, а плоскость $BCC_1B_1$ (в которой лежит $BC_1$) задается уравнением $y = a\sqrt{3}/2$. Вектор $\vec{F_1E_1}=(-a,0,0)$ ортогонален нормали плоскости $\vec{n}=(0,1,0)$, значит прямая $F_1E_1$ параллельна плоскости $BCC_1B_1$. Расстояние равно расстоянию от точки $F_1(a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$ до этой плоскости: $d = |-a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2| = |-a\sqrt{3}| = a\sqrt{3}$.

Ответ: $a\sqrt{3}$

в) Найдем расстояние между $BC_1$ и $A_1F_1$.

Прямая $A_1F_1$ проходит через точку $P_2 = A_1(a, 0, a)$ с вектором $\vec{v_2} = \vec{A_1F_1} = F_1 - A_1 = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{BA_1} = (a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$.

Векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-a, 0, a) \times (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0) = (a^2\sqrt{3}/2, -a^2/2, a^2\sqrt{3}/2)$.

Модуль: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(a^2\sqrt{3}/2)^2 + (-a^2/2)^2 + (a^2\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3a^4/4 + a^4/4 + 3a^4/4} = \frac{a^2\sqrt{7}}{2}$.

Смешанное произведение: $(a/2, -a\sqrt{3}/2, a) \cdot (a^2\sqrt{3}/2, -a^2/2, a^2\sqrt{3}/2) = a^3\sqrt{3}/4 + a^3\sqrt{3}/4 + a^3\sqrt{3}/2 = a^3\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|a^3\sqrt{3}|}{a^2\sqrt{7}/2} = \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{2a\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $\frac{2a\sqrt{21}}{7}$

г) Найдем расстояние между $BC_1$ и $A_1D$.

Прямая $A_1D$ проходит через точку $P_2 = D(-a, 0, 0)$ с вектором $\vec{v_2} = \vec{A_1D} = D - A_1 = (-2a, 0, -a)$.

Вектор $\vec{BD} = D - B = (-a-a/2, 0-a\sqrt{3}/2, 0-0) = (-3a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.

Векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-a, 0, a) \times (-2a, 0, -a) = (0, -3a^2, 0)$.

Модуль: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = 3a^2$.

Смешанное произведение: $(-3a/2, -a\sqrt{3}/2, 0) \cdot (0, -3a^2, 0) = (-a\sqrt{3}/2)(-3a^2) = \frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние: $d = \frac{|3a^3\sqrt{3}/2|}{3a^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Геометрическое решение: Обе прямые лежат в плоскостях, перпендикулярных оси $y$. Прямая $BC_1$ лежит в плоскости $y = a\sqrt{3}/2$. Прямая $A_1D$ лежит в плоскости $y = 0$. Так как направляющие векторы прямых $\vec{v_1}=(-a,0,a)$ и $\vec{v_2}=(-2a,0,-a)$ не коллинеарны, прямые скрещиваются. Расстояние между ними равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат: $d = |a\sqrt{3}/2 - 0| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

д) Найдем расстояние между $BC_1$ и $F_1E$.

Прямая $F_1E$ проходит через точку $P_2 = E(-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$ с вектором $\vec{v_2} = \vec{F_1E} = E - F_1 = (-a, 0, -a)$.

Вектор $\vec{BE} = E - B = (-a, -a\sqrt{3}, 0)$.

Векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-a, 0, a) \times (-a, 0, -a) = (0, -2a^2, 0)$.

Модуль: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = 2a^2$.

Смешанное произведение: $(-a, -a\sqrt{3}, 0) \cdot (0, -2a^2, 0) = (-a\sqrt{3})(-2a^2) = 2a^3\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|2a^3\sqrt{3}|}{2a^2} = a\sqrt{3}$.

Геометрическое решение: Прямая $BC_1$ лежит в плоскости $y = a\sqrt{3}/2$. Прямая $F_1E$ лежит в плоскости $y = -a\sqrt{3}/2$. Расстояние между этими параллельными плоскостями равно $|a\sqrt{3}/2 - (-a\sqrt{3}/2)| = a\sqrt{3}$.

Ответ: $a\sqrt{3}$

е) Найдем расстояние между $BC_1$ и $A_1F$.

Прямая $A_1F$ проходит через точку $P_2 = F(a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$ с вектором $\vec{v_2} = \vec{A_1F} = F - A_1 = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, -a)$.

Вектор $\vec{BF} = F - B = (0, -a\sqrt{3}, 0)$.

Векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-a, 0, a) \times (-a/2, -a\sqrt{3}/2, -a) = (a^2\sqrt{3}/2, -3a^2/2, a^2\sqrt{3}/2)$.

Модуль: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(a^2\sqrt{3}/2)^2 + (-3a^2/2)^2 + (a^2\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3a^4/4 + 9a^4/4 + 3a^4/4} = \frac{a^2\sqrt{15}}{2}$.

Смешанное произведение: $(0, -a\sqrt{3}, 0) \cdot (a^2\sqrt{3}/2, -3a^2/2, a^2\sqrt{3}/2) = (-a\sqrt{3})(-3a^2/2) = \frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние: $d = \frac{|3a^3\sqrt{3}/2|}{a^2\sqrt{15}/2} = \frac{3a\sqrt{3}}{\sqrt{15}} = \frac{3a}{\sqrt{5}} = \frac{3a\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{3a\sqrt{5}}{5}$