Номер 263, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

263. Есть две параллельные плоскости. Из двух точек одной из них проведены наклонные к другой плоскости длиной 37 см и 125 см, причём проекция первой наклонной на одну из плоскостей равна 12 см. Найдите проекцию второй наклонной.

Пусть даны две параллельные плоскости. Расстояние между ними является постоянной величиной, обозначим её $h$.

Любая наклонная, проведённая между этими плоскостями, её проекция на одну из плоскостей и перпендикуляр, опущенный из начальной точки наклонной на ту же плоскость, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике длина наклонной ($l$) является гипотенузой, а длина её проекции ($p$) и расстояние между плоскостями ($h$) — катетами.

Согласно теореме Пифагора, для них выполняется соотношение: $l^2 = h^2 + p^2$.

Для первой наклонной известны её длина $l_1 = 37$ см и длина её проекции $p_1 = 12$ см. Используя эти данные, найдём расстояние между плоскостями $h$:

$h^2 = l_1^2 - p_1^2$

$h^2 = 37^2 - 12^2 = 1369 - 144 = 1225$

$h = \sqrt{1225} = 35$ см.

Теперь мы знаем, что расстояние между параллельными плоскостями равно 35 см.

Для второй наклонной известна её длина $l_2 = 125$ см. Расстояние $h$ для неё такое же. Найдём длину её проекции $p_2$.

Из теоремы Пифагора $l_2^2 = h^2 + p_2^2$ выразим $p_2^2$:

$p_2^2 = l_2^2 - h^2$

Подставим известные значения:

$p_2^2 = 125^2 - 35^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для упрощения вычислений:

$p_2^2 = (125 - 35)(125 + 35) = 90 \cdot 160 = 14400$

Теперь найдём длину проекции $p_2$, извлекая квадратный корень:

$p_2 = \sqrt{14400} = 120$ см.

Ответ: 120 см.