Номер 257, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

257*. Стороны $AB$, $AC$, $BC$ треугольника $ABC$ соответственно равны 13, 12 и 5, а отрезок $BD$ перпендикулярен плоскости этого треугольника (рис. 259). Докажите, что прямые $CD$ и $AC$ перпендикулярны.

Рис. 259

Для доказательства перпендикулярности прямых $CD$ и $AC$ необходимо сначала рассмотреть свойства треугольника $ABC$, лежащего в плоскости $\alpha$.

1. Анализ треугольника ABC.
По условию задачи даны длины сторон треугольника: $AB = 13$, $AC = 12$, $BC = 5$.
Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Согласно этой теореме, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.
Вычислим квадраты длин сторон:
$AC^2 = 12^2 = 144$
$BC^2 = 5^2 = 25$
$AB^2 = 13^2 = 169$
Сложим квадраты сторон $AC$ и $BC$:
$AC^2 + BC^2 = 144 + 25 = 169$.
Так как $AC^2 + BC^2 = AB^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным, а его гипотенузой является самая длинная сторона $AB$. Прямой угол находится напротив гипотенузы, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$.
Это означает, что прямые $AC$ и $BC$ перпендикулярны ($AC \perp BC$).

2. Применение теоремы о трех перпендикулярах.
Теорема о трех перпендикулярах гласит: если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Рассмотрим наши данные в контексте этой теоремы:

• Отрезок $BD$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$ по условию. Значит, $BD$ — это перпендикуляр к плоскости $\alpha$.
• Отрезок $CD$ является наклонной к плоскости $\alpha$.
• Отрезок $BC$ является проекцией наклонной $CD$ на плоскость $\alpha$ (поскольку $B$ — основание перпендикуляра $BD$, а $C$ — точка на плоскости).
• Прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через основание наклонной $CD$ — точку $C$.

В первом пункте мы доказали, что прямая $AC$ перпендикулярна проекции $BC$ ($AC \perp BC$).
Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, прямая $AC$ перпендикулярна и самой наклонной $CD$.
Таким образом, $AC \perp CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые $CD$ и $AC$ перпендикулярны. Это доказано на основании обратной теоремы Пифагора, которая показывает, что $AC \perp BC$, и теоремы о трех перпендикулярах, из которой следует, что если проекция ($BC$) перпендикулярна прямой в плоскости ($AC$), то и наклонная ($CD$) перпендикулярна этой прямой.