Номер 253, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

253. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 10 см и 17 см, проекции которых отличаются на 9 см. Найдите эти проекции.

Пусть из точки, назовем ее A, к плоскости α проведены две наклонные AB и AC. По условию, их длины равны $l_1 = AB = 10$ см и $l_2 = AC = 17$ см.

Опустим из точки A перпендикуляр AH на плоскость α. Отрезок AH является общим катетом для двух прямоугольных треугольников, ΔAHB и ΔAHC. Отрезки HB и HC — это проекции наклонных AB и AC на плоскость α. Обозначим их длины как $p_1$ и $p_2$ соответственно.

Так как большей наклонной соответствует большая проекция, то из $AC > AB$ следует, что $HC > HB$, то есть $p_2 > p_1$. По условию задачи, разность длин проекций составляет 9 см, следовательно: $p_2 - p_1 = 9$

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB (∠H = 90°). По теореме Пифагора: $AH^2 + HB^2 = AB^2$ $h^2 + p_1^2 = 10^2$ $h^2 + p_1^2 = 100$ (1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC (∠H = 90°). По теореме Пифагора: $AH^2 + HC^2 = AC^2$ $h^2 + p_2^2 = 17^2$ $h^2 + p_2^2 = 289$ (2)

Мы получили систему уравнений. Выразим $h^2$ из уравнения (1): $h^2 = 100 - p_1^2$

Подставим это выражение для $h^2$ в уравнение (2): $(100 - p_1^2) + p_2^2 = 289$

Преобразуем уравнение: $p_2^2 - p_1^2 = 289 - 100$ $p_2^2 - p_1^2 = 189$

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(p_2 - p_1)(p_2 + p_1) = 189$

Мы знаем, что $p_2 - p_1 = 9$. Подставим это значение в уравнение: $9 \cdot (p_2 + p_1) = 189$

Отсюда найдем сумму длин проекций: $p_2 + p_1 = \frac{189}{9}$ $p_2 + p_1 = 21$

Теперь у нас есть система из двух простых линейных уравнений:
1) $p_2 - p_1 = 9$
2) $p_2 + p_1 = 21$

Сложим эти два уравнения: $(p_2 - p_1) + (p_2 + p_1) = 9 + 21$ $2p_2 = 30$ $p_2 = 15$ см

Теперь найдем $p_1$, подставив значение $p_2$ в любое из уравнений. Например, в $p_2 + p_1 = 21$: $15 + p_1 = 21$ $p_1 = 21 - 15$ $p_1 = 6$ см

Таким образом, длины проекций составляют 6 см и 15 см.

Ответ: 6 см и 15 см.