Номер 256, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

256. Из вершины $B$ квадрата $ABCD$ к его плоскости возведён перпендикуляр $QB$. Найдите площадь треугольника $QAD$, учитывая, что $QB = 24$ см, $AB = 18$ см.

По условию задачи, $ABCD$ — это квадрат, а отрезок $QB$ возведён перпендикулярно к плоскости этого квадрата. Из этого следует, что $QB$ перпендикулярен любой прямой, которая лежит в плоскости $ABCD$ и проходит через точку $B$. Таким образом, $QB$ перпендикулярен стороне квадрата $AB$, то есть $QB \perp AB$.

Рассмотрим треугольник $QBA$. Так как угол $\angle QBA$ прямой ($90^\circ$), этот треугольник является прямоугольным. Мы можем найти длину его гипотенузы $QA$, используя теорему Пифагора: $QA^2 = QB^2 + AB^2$.

Подставим в формулу известные значения длин отрезков: $QB = 24$ см и $AB = 18$ см.
$QA^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$
$QA = \sqrt{900} = 30$ см.

Теперь нам нужно найти площадь треугольника $QAD$. Для этого определим его свойства. Воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. В нашей конфигурации:
• $QB$ — это перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.
• $QA$ — это наклонная к плоскости $(ABC)$.
• $AB$ — это проекция наклонной $QA$ на плоскость $(ABC)$.

Прямая $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через основание наклонной (точку $A$). Так как $ABCD$ — квадрат, его смежные стороны перпендикулярны, следовательно, $AD \perp AB$.

Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если прямая, лежащая в плоскости (в нашем случае $AD$), перпендикулярна проекции наклонной (в нашем случае $AB$), то она перпендикулярна и самой наклонной (в нашем случае $QA$). Таким образом, $AD \perp QA$.

Это означает, что треугольник $QAD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ ($\angle QAD = 90^\circ$).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. Катетами треугольника $QAD$ являются стороны $QA$ и $AD$.
Формула площади: $S_{QAD} = \frac{1}{2} \cdot QA \cdot AD$.

Мы знаем, что $AD$ — это сторона квадрата, поэтому $AD = AB = 18$ см. Длину катета $QA$ мы уже вычислили, она равна $30$ см.
Подставим эти значения в формулу площади:
$S_{QAD} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 18 = 15 \cdot 18 = 270$ см².

Ответ: $270$ см².