Номер 249, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

249. Из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен $\beta$. Найдите:

а) наклонную и её проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен $d$;

б) перпендикуляр и проекцию наклонной, учитывая, что наклонная равна $m$.

Пусть из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AH$ и наклонная $AM$. Тогда отрезок $HM$ является проекцией наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $AHM$ — прямоугольный, так как $AH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $H$. Следовательно, $\angle AHM = 90^\circ$. Угол между перпендикуляром $AH$ и наклонной $AM$ по условию равен $\beta$, то есть $\angle HAM = \beta$.

а) найти наклонную и её проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен $d$.

Дано: $AH = d$, $\angle HAM = \beta$.

В прямоугольном треугольнике $AHM$:

• $AH$ — катет, прилежащий к углу $\beta$.
• $AM$ — гипотенуза (наклонная).
• $HM$ — катет, противолежащий углу $\beta$ (проекция наклонной).

Для нахождения длины наклонной $AM$ используем косинус угла $\beta$:

$\cos\beta = \frac{прилежащий \ катет}{гипотенуза} = \frac{AH}{AM}$

Выразим отсюда $AM$:

$AM = \frac{AH}{\cos\beta} = \frac{d}{\cos\beta}$

Для нахождения длины проекции $HM$ используем тангенс угла $\beta$:

$\tan\beta = \frac{противолежащий \ катет}{прилежащий \ катет} = \frac{HM}{AH}$

Выразим отсюда $HM$:

$HM = AH \cdot \tan\beta = d \cdot \tan\beta$

Ответ: наклонная равна $\frac{d}{\cos\beta}$, а ее проекция равна $d \cdot \tan\beta$.

б) найти перпендикуляр и проекцию наклонной, учитывая, что наклонная равна $m$.

Дано: $AM = m$, $\angle HAM = \beta$.

В том же прямоугольном треугольнике $AHM$:

• $AM = m$ — гипотенуза.

Для нахождения длины перпендикуляра $AH$ (прилежащего катета) используем косинус угла $\beta$:

$\cos\beta = \frac{AH}{AM}$

Выразим отсюда $AH$:

$AH = AM \cdot \cos\beta = m \cdot \cos\beta$

Для нахождения длины проекции $HM$ (противолежащего катета) используем синус угла $\beta$:

$\sin\beta = \frac{HM}{AM}$

Выразим отсюда $HM$:

$HM = AM \cdot \sin\beta = m \cdot \sin\beta$

Ответ: перпендикуляр равен $m \cdot \cos\beta$, а проекция равна $m \cdot \sin\beta$.