Номер 12, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

12. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 256). Назовите проекцию прямой:

а) $AD$ на плоскость $BB_1C$;

б) $AD$ на плоскость $DD_1C_1$;

в) $AD_1$ на плоскость $ABC$.

Для нахождения проекции прямой на плоскость необходимо спроецировать на эту плоскость две любые точки данной прямой и провести через полученные проекции прямую.

а) $AD$ на плоскость $BB_1C$

Будем искать проекцию прямой $AD$ на плоскость грани $BB_1C_1C$. Для этого найдем проекции точек $A$ и $D$ на эту плоскость.
Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его боковые грани перпендикулярны основаниям. Грань $ABB_1A_1$ перпендикулярна грани $BB_1C_1C$. Ребро $AB$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$ и перпендикулярно линии их пересечения $BB_1$. Также $AB \perp BC$. Значит, ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $BB_1C$. Следовательно, ортогональной проекцией точки $A$ на плоскость $BB_1C$ является точка $B$.
Аналогично, ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $BB_1C$ (так как $DC \perp BC$ и $DC \parallel AB$). Следовательно, ортогональной проекцией точки $D$ на плоскость $BB_1C$ является точка $C$.
Таким образом, проекцией прямой $AD$ на плоскость $BB_1C$ является прямая, проходящая через точки $B$ и $C$.
Ответ: прямая $BC$.

б) $AD$ на плоскость $DD_1C_1$

Будем искать проекцию прямой $AD$ на плоскость грани $DD_1C_1C$.
В прямоугольном параллелепипеде основание $ABCD$ является прямоугольником, поэтому $AD \perp DC$.
Боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $DD_1 \perp AD$.
Так как прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DC$ и $DD_1$) в плоскости $DD_1C_1$, то прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $DD_1C_1$.
Проекцией прямой, перпендикулярной плоскости, на эту плоскость является точка их пересечения. Прямая $AD$ пересекает плоскость $DD_1C_1$ в точке $D$.
Ответ: точка $D$.

в) $AD_1$ на плоскость $ABC$

Будем искать проекцию прямой $AD_1$ на плоскость основания $ABC$, которая совпадает с плоскостью $ABCD$. Для этого найдем проекции точек $A$ и $D_1$ на эту плоскость.
Точка $A$ принадлежит плоскости $ABC$, поэтому ее проекцией на эту плоскость является сама точка $A$.
Ребро $D_1D$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, ортогональной проекцией точки $D_1$ на плоскость $ABC$ является точка $D$.
Таким образом, проекцией прямой $AD_1$ на плоскость $ABC$ является прямая, проходящая через проекции точек $A$ и $D_1$, то есть через точки $A$ и $D$.
Ответ: прямая $AD$.