Номер 5, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Сформулируйте утверждение о расстоянии от любой точки одной из параллельных плоскостей к другой плоскости.

Данный вопрос касается одного из ключевых свойств параллельных плоскостей в пространственной геометрии. Утверждение формулируется на основе определения расстояния от точки до плоскости.

Утверждение

Все точки одной из двух параллельных плоскостей равноудалены (то есть находятся на одинаковом расстоянии) от другой плоскости.

Развернутое обоснование (доказательство)

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$.

1. Возьмем на плоскости $\alpha$ две произвольные точки, $A$ и $B$.

2. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Проведем из точек $A$ и $B$ перпендикуляры к плоскости $\beta$. Обозначим их основания, лежащие в плоскости $\beta$, как $A_1$ и $B_1$ соответственно. Таким образом, по определению, $AA_1 \perp \beta$ и $BB_1 \perp \beta$. Длины отрезков $AA_1$ и $BB_1$ являются расстояниями от точек $A$ и $B$ до плоскости $\beta$.

3. Согласно свойству, если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны: $AA_1 \parallel BB_1$.

4. Поскольку прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, через них можно провести единственную плоскость, назовем ее $\gamma$. Эта плоскость $\gamma$ пересекает исходные параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$.

5. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии пересечения параллельны. Линией пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостью $\alpha$ является прямая $AB$. Линией пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостью $\beta$ является прямая $A_1B_1$. Следовательно, $AB \parallel A_1B_1$.

6. Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. Мы установили, что его противоположные стороны попарно параллельны: $AA_1 \parallel BB_1$ и $AB \parallel A_1B_1$. Это означает, что $ABB_1A_1$ — параллелограмм.

7. У параллелограмма противоположные стороны равны. Следовательно, $AA_1 = BB_1$.

Поскольку точки $A$ и $B$ были выбраны на плоскости $\alpha$ произвольным образом, равенство $AA_1 = BB_1$ означает, что расстояние от любой точки плоскости $\alpha$ до плоскости $\beta$ одинаково. Это постоянное расстояние и называется расстоянием между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: Все точки одной из параллельных плоскостей равноудалены от другой плоскости.