Номер 3, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Сформулируйте утверждение о сравнении длин перпендикуляра и наклонной к плоскости, проведённых из одной точки.

Для того чтобы сформулировать утверждение, необходимо ввести несколько основных определений, касающихся взаимного расположения точки, прямой и плоскости в пространстве.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, которая не принадлежит этой плоскости.

• Перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$, — это отрезок $AH$, соединяющий точку $A$ с точкой $H$ в плоскости $\alpha$, при этом прямая, содержащая отрезок $AH$, перпендикулярна плоскости $\alpha$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра. Длина перпендикуляра $AH$ — это кратчайшее расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$.
• Наклонная, проведенная из точки $A$ к плоскости $\alpha$, — это любой отрезок $AM$, который соединяет точку $A$ с точкой $M$ в плоскости $\alpha$, при условии что точка $M$ не совпадает с точкой $H$ (основанием перпендикуляра). Точка $M$ называется основанием наклонной.
• Проекция наклонной на плоскость — это отрезок $HM$, который соединяет основание перпендикуляра $H$ и основание наклонной $M$.

Утверждение (Теорема о перпендикуляре и наклонной)

Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, меньше длины любой наклонной, проведенной из той же точки к этой же плоскости.

Доказательство утверждения

Рассмотрим перпендикуляр $AH$ и наклонную $AM$, проведенные из одной точки $A$ к плоскости $\alpha$. Точки $H$ и $M$ лежат в плоскости $\alpha$. Соединив точки $A$, $H$ и $M$, мы получим треугольник $AHM$.

Согласно определению перпендикуляра к плоскости, прямая $AH$ перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через основание перпендикуляра — точку $H$. Прямая $HM$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $H$. Следовательно, прямая $AH$ перпендикулярна прямой $HM$, то есть $\angle AHM = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle AHM$ является прямоугольным, где $AH$ и $HM$ — катеты, а $AM$ — гипотенуза.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, то есть она длиннее любого из катетов. Следовательно, $AM > AH$.

Данное утверждение также можно доказать с помощью теоремы Пифагора для треугольника $\triangle AHM$: $AM^2 = AH^2 + HM^2$

Так как по определению наклонной точка $M$ не совпадает с $H$, длина проекции $HM$ строго положительна ($HM > 0$), а значит, и ее квадрат $HM^2 > 0$. Из этого следует, что $AM^2 > AH^2$. Поскольку длины отрезков являются положительными числами, можно извлечь корень из обеих частей неравенства, получив $AM > AH$. Утверждение доказано.

Ответ: Перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же плоскости.