Номер 243, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

243*. Есть треугольная пирамида $QABC$, основание которой — правильный треугольник $ABC$, а боковые рёбра $QA$, $QB$, $QC$ равны друг другу. Из вершины $C$ и из такой точки $X$ ребра $AC$, что $AX = 45$ см и $XC = 30$ см, проведены перпендикуляры к грани $QAB$. Найдите длину этих перпендикуляров, учитывая, что расстояние между их основаниями равно $18$ см.

Пусть $h_C$ и $h_X$ — длины перпендикуляров, опущенных из вершины $C$ и точки $X$ на грань $QAB$ соответственно. Пусть основаниями этих перпендикуляров являются точки $H$ и $Y$. Таким образом, $CH = h_C$, $XY = h_X$, $CH \perp (QAB)$ и $XY \perp (QAB)$. По условию, расстояние между основаниями перпендикуляров $HY = 18$ см.

Так как основание пирамиды $ABC$ — правильный треугольник, а боковые рёбра $QA$, $QB$, $QC$ равны, то грань $QAB$ является равнобедренным треугольником ($QA=QB$), а двугранный угол при ребре $AB$ одинаков для всех боковых граней.

Длина ребра $AC$ основания равна сумме длин отрезков $AX$ и $XC$:
$AC = AX + XC = 45 \text{ см} + 30 \text{ см} = 75 \text{ см}.$

Расстояние от точки, лежащей в плоскости основания, до плоскости боковой грани $QAB$ пропорционально расстоянию от этой точки до ребра $AB$. Пусть $\phi$ — двугранный угол между плоскостью основания $(ABC)$ и плоскостью грани $(QAB)$. Тогда для любой точки $P$ в плоскости $(ABC)$ расстояние до грани $(QAB)$ равно $d(P, (QAB)) = d(P, AB) \cdot \sin(\phi)$, где $d(P, AB)$ — расстояние от точки $P$ до прямой $AB$.

Следовательно, отношение длин наших перпендикуляров равно отношению расстояний от точек $C$ и $X$ до прямой $AB$ в плоскости основания:$$ \frac{h_X}{h_C} = \frac{d(X, AB)}{d(C, AB)} $$

Расстояние $d(C, AB)$ — это высота правильного треугольника $ABC$. Проведем высоту $CM$ к стороне $AB$.
$d(C, AB) = CM = AC \cdot \sin(60^\circ) = 75 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для нахождения $d(X, AB)$ проведем из точки $X$ перпендикуляр $XN$ к прямой $AB$. Треугольники $\triangle AXN$ и $\triangle ACM$ подобны, так как они оба прямоугольные и имеют общий угол при вершине $A$.$$ \frac{XN}{CM} = \frac{AX}{AC} $$$d(X, AB) = XN = CM \cdot \frac{AX}{AC} = d(C, AB) \cdot \frac{45}{75} = d(C, AB) \cdot \frac{3}{5}$.
Таким образом, отношение длин перпендикуляров к грани $QAB$:$$ \frac{h_X}{h_C} = \frac{3}{5} \implies h_X = \frac{3}{5}h_C $$

Теперь рассмотрим пространственное расположение точек $C, X, H, Y$. Так как $CH \parallel XY$ (оба перпендикулярны одной плоскости), то эти четыре точки лежат в одной плоскости, образуя прямоугольную трапецию $CHYX$ с основаниями $CH$ и $XY$ и высотой... Стоп, это неверно, так как отрезок $CX$ не обязательно перпендикулярен основаниям.

Правильный подход — рассмотреть пространственный прямоугольный треугольник. Проведем через точку $X$ плоскость, параллельную грани $QAB$. Эта плоскость пересечет отрезок $CH$ в некоторой точке $K$. Фигура $XYHK$ будет являться прямоугольником, так как $XY \parallel KH$ и $XY=KH=h_X$, а $XK \parallel YH$ и $XK=YH=18$ см.

Так как $CH \perp (QAB)$, то $CH$ перпендикулярен любой прямой в плоскости, параллельной $(QAB)$, проходящей через точку $K$. В частности, $CH \perp XK$. Следовательно, треугольник $\triangle CXK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K$.

В этом треугольнике:
- гипотенуза $CX = XC = 30$ см (по условию $XC=30$).
- катет $XK = HY = 18$ см.
- катет $CK = CH - KH = h_C - h_X$.

По теореме Пифагора для $\triangle CXK$:$$ CX^2 = XK^2 + CK^2 $$Подставим известные значения и соотношения:$$ 30^2 = 18^2 + (h_C - h_X)^2 $$$$ 900 = 324 + (h_C - \frac{3}{5}h_C)^2 $$$$ 900 - 324 = (\frac{2}{5}h_C)^2 $$$$ 576 = \frac{4}{25}h_C^2 $$Теперь найдем $h_C^2$:$$ h_C^2 = \frac{576 \cdot 25}{4} = 144 \cdot 25 = 3600 $$$$ h_C = \sqrt{3600} = 60 \text{ см} $$Теперь найдем длину второго перпендикуляра $h_X$:$$ h_X = \frac{3}{5}h_C = \frac{3}{5} \cdot 60 = 3 \cdot 12 = 36 \text{ см} $$

Ответ: Длина перпендикуляра из вершины $C$ равна 60 см, а длина перпендикуляра из точки $X$ равна 36 см.