Номер 241, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

241. Точка $Q$ — середина ребра $KK_1$ прямоугольного параллелепипеда $KLMNK_1L_1M_1N_1$, точка $H$ ребра $MM_1$ такова, что $MH : HM_1 = 4 : 1$. Найдите длину отрезка $HQ$, учитывая, что диагональ параллелепипеда равна 41 см, а диагональ его основания — 9 см.

Для решения задачи введем измерения прямоугольного параллелепипеда: $a$ и $b$ — стороны основания, $c$ — высота (длина бокового ребра).

Квадрат диагонали основания $d_{осн}$ равен сумме квадратов сторон основания: $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$. По условию диагональ основания равна 9 см, следовательно:

$a^2 + b^2 = 9^2 = 81$

Квадрат диагонали параллелепипеда $d$ равен сумме квадратов трех его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. По условию диагональ параллелепипеда равна 41 см. Используя найденное значение для $a^2 + b^2$, найдем высоту $c$:

$41^2 = (a^2 + b^2) + c^2$

$1681 = 81 + c^2$

$c^2 = 1681 - 81 = 1600$

$c = \sqrt{1600} = 40$ см.

Таким образом, длина боковых ребер, таких как $KK_1$ и $MM_1$, равна 40 см.

Теперь найдем положение точек $Q$ и $H$ на ребрах.

Точка $Q$ — середина ребра $KK_1$. Значит, расстояние от точки $Q$ до основания $KLMN$ равно:

$KQ = \frac{1}{2} KK_1 = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20$ см.

Точка $H$ лежит на ребре $MM_1$ и делит его в отношении $MH : HM_1 = 4 : 1$. Это означает, что отрезок $MM_1$ состоит из $4+1=5$ частей. Найдем длину отрезка $MH$, который является расстоянием от точки $H$ до основания $KLMN$:

$MH = \frac{4}{5} MM_1 = \frac{4}{5} \cdot 40 = 32$ см.

Для нахождения длины отрезка $HQ$ воспользуемся пространственной теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке $K$, осями $x, y, z$ вдоль ребер $KL, KN, KK_1$ соответственно. Тогда квадрат расстояния $HQ$ равен сумме квадратов разностей координат по каждой оси.

Разность по осям $x$ и $y$ в совокупности дает квадрат расстояния между проекциями точек $H$ и $Q$ на основание. Проекцией точки $H$ на плоскость $KLMN$ является точка $M$, а проекцией точки $Q$ — точка $K$. Расстояние между проекциями — это длина диагонали основания $KM$, которая равна 9 см.

Разность по оси $z$ — это разность высот точек $H$ и $Q$ над основанием:

$\Delta z = |MH - KQ| = |32 - 20| = 12$ см.

Теперь можем найти длину $HQ$. Квадрат длины отрезка $HQ$ равен сумме квадрата его проекции на плоскость основания и квадрата разности высот:

$HQ^2 = (KM)^2 + (\Delta z)^2$

$HQ^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

$HQ = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.