Номер 235, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

235. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку $M$ прямой $a$ перпендикулярно ей, лежат в плоскости, которая перпендикулярна прямой $a$ и проходит через точку $M$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся аксиомами и теоремами стереометрии.

Дано:
Прямая $a$.
Точка $M$.

Доказать:
Все прямые, которые проходят через точку $M$ и перпендикулярны прямой $a$, лежат в одной и той же плоскости. Эта плоскость проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$.

Доказательство:

1. Рассмотрим множество прямых, проходящих через точку $M$ и перпендикулярных прямой $a$. В пространстве через точку $M$ можно провести по крайней мере две различные прямые, перпендикулярные данной прямой $a$. Выберем две такие прямые и назовем их $b_1$ и $b_2$.
По определению, имеем:
$M \in b_1$ и $b_1 \perp a$.
$M \in b_2$ и $b_2 \perp a$.

2. Прямые $b_1$ и $b_2$ пересекаются в точке $M$. Согласно теореме, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость через $\alpha$.
По построению, точка $M$ принадлежит этой плоскости ($M \in \alpha$).

3. Теперь докажем, что построенная плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $a$.
Мы знаем, что прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $b_1$ и $b_2$, которые лежат в плоскости $\alpha$.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Следовательно, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

4. Мы построили плоскость $\alpha$, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$. Теперь необходимо доказать, что любая прямая, проходящая через $M$ и перпендикулярная $a$, лежит в этой плоскости.
Возьмем произвольную прямую $c$, такую что $M \in c$ и $c \perp a$. Докажем, что прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

5. Будем доказывать от противного. Предположим, что прямая $c$ не лежит в плоскости $\alpha$.
Так как $M \in c$ и $M \in \alpha$, то прямая $c$ и плоскость $\alpha$ имеют одну общую точку $M$.
Рассмотрим плоскость $\beta$, определенную пересекающимися прямыми $b_1$ и $c$. Обе эти прямые проходят через точку $M$ и перпендикулярны прямой $a$.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как $a \perp b_1$ и $a \perp c$, то прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

6. Итак, мы получили, что существуют две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$ (они различны, так как прямая $c$ лежит в $\beta$, но не лежит в $\alpha$), которые обе проходят через точку $M$ и обе перпендикулярны прямой $a$.
Это противоречит теореме о существовании и единственности плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
Следовательно, наше предположение было неверным. Прямая $c$ должна лежать в плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы доказали, что все прямые, проходящие через данную точку $M$ и перпендикулярные данной прямой $a$, лежат в одной плоскости, которая перпендикулярна прямой $a$ и проходит через точку $M$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.